Уравнения математической физики
| Автор(ы): | Соболев С. Л.
18.02.2025
|
| Год изд.: | 1947 |
| Описание: | «… Наш курс будет посвящён по преимуществу уравнениям в частных производных второго порядка с одной неизвестной функцией, известным под названиями: волнового уравнения, уравнения Лапласа и уравнения теплопередачи, обычно называемых классическими уравнениями математической физики. Попутно мы разовьём необходимую теорию смежных вопросов. Разумеется, охватить полностью все относящиеся сюда разделы в рамках университетского курса довольно трудно, и нам пришлось выбрать то, что, с нашей точки зрения, представлялось наиболее важным…» |
| Оглавление: |
Обложка книги.
Лекция I. Выводы основных уравнений [9] §1. Формула Гаусса-Остроградского [9] §2. Уравнение колебаний струны [11] §3. Уравнение колебаний мембраны [13] §4. Уравнение неразрывности при движении жидкости и уравнение Лапласа [16] §5. Уравнение передачи тепла [18] §6. Звуковые волны [21] Лекция II. Постановка задач математической физики. Пример Адамара [24] §1. Начальные и краевые условия [24] §2. Понятие о задаче, корректно поставленной. Пример Адамара [28] Лекция III. Классификация линейных уравнений 2-го порядка [33] §1. Линейные уравнения и квадратичные формы. Канонический вид уравнения [33] §2. Канонический вид уравнений с двумя независимыми переменными [39] §3. Второй канонический вид гиперболических уравнений с двумя независимыми переменными [40] §4. Характеристики [41] Секция IV. Уравнение колебаний струны и его решение методом Даламбера [44] §1. Формула Даламбера. Неограниченная струна [44] §2. Струна с двумя закрепленными концами [47] §3. Решение задачи для неоднородного уравнения и для более общих граничных условий [49] Лекция V. Задача Гурса. Метод Римана [54] §1. Задача Гурса [54] §2. Сопряженные дифференциальные операторы [58] §3. Метод Римана [60] §4. Некоторые качественные следствия формулы Римана [63] Лекция VI. Кратные интегралы [64] §1. Замкнутые множества и области [64] §2. Интегралы по области от непрерывных функций [66] §3. Интегралы по замкнутому множеству от непрерывных функций [70] §4. Суммируемые функции [78] §5. Неопределенные интегралы от функции одной переменной. Примеры [89] §6. Свойства суммируемых функций [92] §7. Теорема Лебега-Фубини [99] Лекция VII. Интегралы, зависящие от параметра [103] §1. Интегралы, равномерно сходящиеся при данном значении параметра [103] §2. Производная по параметру от несобственных интегралов [109] Лекция VIII. Уравнение распространения тепла [115] §1. Фундаментальное решение [115] §2. Решение задачи Коши [120] Лекция IX. Уравнения Лапласа и Пуассона [129] §1. Теорема максимума [129] §2. Фундаментальное решение. Формула Грина [131] §3. Потенциалы объема, простого слоя и двойного слоя [133] Лекция X. Некоторые общие следствия из формулы Грина [139] §1. Теорема о среднем арифметическом [139] §2. Поведение гармонической функции вблизи особой точки [143] §3. Поведение Гармонической функции на бесконечности. Взаимные точки [147] Лекция XI. Уравнение Пуассона в неограниченной среде. Ньютонов потенциал [150] Лекция XII. Решение задачи Дирихле для шара [156] Лекция XIII. Задачи Дирихле и Неймана для полупространства [162] Лекция XIV. Волновое уравнение и запаздывающие потенциалы [171] §1. Характеристики и бихарактеристики для волнового уравнения [171] §2. Метод Кирхгофа для решения задачи Коши [173] Лекция XV. Свойства потенциалов простого и двойного слоя [185] §1. Общие замечания [185] §2. Свойства потенциала двойного слоя [186] §3. Свойства потенциала простого слоя [190] §4. Поведение потенциалов в бесконечности [197] Лекция XVI. Сведение б интегральным уравнениям задачи Дирихле и Неймана [198] §1. Постановка задач и единственность их решений [198] §2. Интегральные уравнения для поставленных задач [201] Лекция XVII. Уравнения Лапласа и Пуассона на плоскости [204] §1. Фундаментальное решение [204] §2. Основные задачи [206] §3. Логарифмический потенциал [210] Лекция XVIII. Теория интегральных уравнений [212] §1. Общие замечания [212] §2. Метод последовательных приближений [213] §3. Уравнение Вольтерра [218] §4. Уравнения с вырожденным ядром [219] §5. Ядро специального вида. Теоремы Фредгольма для общего случая [224] §6. Теорема Вейерштрасса [229] Лекция XIX. Распространение теорем Фредгольма на уравнения с неограниченным ядром [233] §1. Основные леммы [233] §2. Символические обозначения [237] §3. Связь между решениями итерированных уравнений [239] §4. Теоремы Фредгольма [243] Лекция XX. Применение теории Фредгольма в решению задач Дирихле и Неймана [246] §1. Вывод свойств интегральных уравнений [246] §2. Исследование уравнений [248] Лекция XXI. Функция Грина [253] §1. Дифференциальные операторы с одной независимой переменной [253] §2. Сопряженные операторы и сопряженные семейства [256] §3. Основная лемма об интегралах сопряженных уравнений [259] §4. Функция влияния [263] §5. Функция Грина и ее построение [265] §6. Обобщенная функция Грина для линейного уравнения 2-го порядка [271] §7. Примеры [275] Лекция XXII. Функция Грина для оператора Лапласа [281] §1. Функция Грина для задачи Дирихле [281] §2. Понятие о функции Грина для задачи Неймана [285] Лекция XXIII. Корректность постановки краевых задач математической физики [289] §1. Уравнение теплопроводности [289] §2. Понятие обобщенного решения [292] §3. Волновое уравнение [294] §4. Обобщенные решения волнового уравнения [298] §5. Свойство обобщенных решений однородных уравнений [301] §6. Неравенства Буняковского-Шварца и Минковского [306] §7. Теорема Рисса-Фишера [308] Лекция XXIV. Метод Фурье [312] §1. Разделение переменных [312] §2. Аналогия между задачей о колебании непрерывной среды и колебаниями механических систем [318] §3. Неоднородное уравнение [320] §4. Продольные колебания стержня со свободными концами [324] Лекция XXV. Интегральные уравнения с симметрическим ядром [328] §1. Простейшие свойства. Вполне непрерывные операторы [328] §2. Существование собственного значения [337] Лекция XXVI. Билинейная формула и теорема Гильберта-Шмидта [341] §1. Билинейная формула [241] §2. Теорема Гильберта-Шмидта [349] §3. Более общий вид вполне непрерывного оператора [352] §4. Применение теории интегральных уравнений с симметрическим ядром [361] Лекция XXVII. Неоднородное интегральное уравнение с симметрическим ядром [363] §1. Разложение резольвенты [363] §2. Представление решения при помощи аналитических функций [365] Лекция XXVIII. Колебания прямоугольного параллелепипеда [369] Лекция XXIX. Уравнение Лапласа в криволинейных координатах. Примеры применения метода Фурье [375] §1. Уравнение Лапласа в криволинейных координатах [375] §2. Функции Бесселя [380] §3. Полное разделение переменных в уравнении Дu = 0 в полярных и цилиндрических координатах [383] Лекция XXX. Гармонические полиномы и сферические функции [389] §1. Определение сферических функций [389] §2. Приближение при помощи сферических функций [393] §3. Задача Дирихле для шара [396] §4. Дифференциальные уравнения для сферических функций [397] Лекция XXXI. Некоторые простейшие свойства сферических функций [405] §1. Представление полиномов Лежандра [405] §2. Производящая функция [406] §3. Формула Лапласа [409] Лекция XXXII. Метод Ритца и прямые методы в уравнениях математической физики [411] §1. Линейные алгебраические уравнения [411] §2. Экстремальные свойства квадратичных форм [415] §3. Экстремальные свойства собственных значений для уравнения Дu + Лu = 0 [419] §4. Метод Ритца. Вычисление собственных значений [424] §5. Вычисление собственных функций [430] Алфавитный указатель [436] |
| Формат: | djvu + ocr |
| Размер: | 49790449 байт |
| Язык: | РУС |
| Рейтинг: |
188
|
| Открыть: | Ссылка (RU) |