Уравнения математической физики

Автор(ы):Полодий Г. Н.
19.02.2025
Год изд.:1964
Описание: «… Настоящая книга составлена в результате переработки и некоторого дополнения курса лекций по уравнениям математической физики, читанного автором на протяжении ряда лет на механико-математическом факультете Киевского государственного университета. Вопросы математической физики тесно связаны с изучением различных физических явлений. Сюда относятся явления, изучаемые в гидродинамике, электродинамике, теории упругости, теории теплопроводности, квантовой механике, атомной физике и т. д. Возникающие при этом математические задачи содержат много общих элементов и составляют предмет математической физики…»
Оглавление:
Уравнения математической физики — обложка книги. Обложка книги.
Предисловие [3]
Глава 1. Задачи физики и механики, приводящие к основным уравнениям математической физики.
  §1. Основные понятия [5]
  §2. Простейшие задачи физики и механики, приводящие к основным уравнениям математической физики [7]
    1. Распространение тепла и диффузия. Диффузия с распадом и при цепной реакции [8]
    2. Потенциальный поток несжимаемой жидкости. Уравнение неразрывности [11]
    3. Уравнения гидродинамики идеальной жидкости [12]
    4. Уравнения газовой динамики и акустики [14]
    5. Уравнения электростатики и постоянного электрического тока [16]
    6. Уравнения магнитостатики [18]
    7. Уравнения Максвелла [20]
    8. Уравнения свободных электрических колебаний в проводах [24]
    9. Уравнение струны и уравнение мембраны [25]
    10. Уравнение продольных колебаний тонкого стержня [28]
Глава 2. Общие вопросы теории уравнений в частных производных.
  §1. Нормальные системы уравнений. Теорема Ковалевской [30]
  §2. Приведение квазилинейных систем уравнений к нормальному виду, их классификация и характеристики [37]
    1. Общий случай квазилинейных систем уравнений. Примеры [37]
    2. Классификация, характеристики и приведение к каноническому виду линейных уравнений второго порядка [47]
    3. Классификация и характеристики нелинейных систем уравнений общего вида [53]
  §3. Решение задачи Коши для уравнений первого порядка. Метод характеристических кривых. Примеры [55]
Глава 3. Эллиптические уравнения. Общие свойства гармонических функций. Теория потенциала. Решение краевых задач.
  §1. Постановка краевых задач и их физическое содержание [69]
  §2. Функции единичного источника и единичного диполя. Функция влияния и решение первой краевой задачи для круга и шара [76]
    1. Функции единичного источника и единичного диполя [76]
    2. Представление дважды непрерывно дифференцируемых функций в виде суммы потенциалов [80]
    3. Функция влияния и интегральные представления решений краевых задач. Примеры функций влияния для простейших областей [84]
    4. Решение первой краевой задачи теории потенциала для шара и круга [93]
  §3. Общие свойства гармонических функций. Применения к исследованию основных краевых задач теории потенциала [97]
    1. Оператор Лапласа и дивергенция в криволинейных ортогональных координатах. Общее определение гармонических функций трех и двух переменных [97]
    2. Необходимое условие разрешимости и единственность решения второй внутренней задачи теории потенциала [104]
    3. Теорема о среднем арифметическом и принцип максимума гармонических функций [105]
    4. Единственность и устойчивость решения первой краевой задачи теории потенциала [106]
    5. Теоремы об устранимой особой точке гармонических функций [106]
    6. Гармоничность решений внешних краевых задач теории потенциала на бесконечности и поведение гармонических функций при подходе к бесконечности [108]
    7. Первая теорема о сходимости гармонических функций [109]
    8. Оценки для положительных гармонических функций и теорема Лиувилля [110]
    9. Вторая теорема о сходимости гармонических функций [111]
    10. Свойство равностепенной непрерывности и компактность множества гармонических функций [111]
    11. Свойство аналитичности гармонических функций [112]
    12. Аналитическое продолжение гармонических функций [114]
    13. Сопряженные гармонические функции двух переменных и сведение второй краевой задачи к первой [115]
  §4. Теория потенциала. Метод интегральных уравнений. Решение основных краевых задач для отдельных областей [117]
    1. Свойство потенциалов в точках вне области интеграции [117]
    2. Признак равномерной сходимости интегралов и теорема о дифференцировании равномерно сходящихся интегралов [120]
    3. Теоремы о первых и вторых производных потенциала объема и логарифмического потенциала площади [124]
    4. Теорема о непрерывности потенциала простого слоя и логарифмического потенциала простого слоя [129]
    5. Потенциалы двойного слоя и нормальные производные потенциалов простого слоя как функции точек областей интеграции. Поверхности и кривые Ляпунова [130]
    6. Теорема о предельных значениях потенциала двойного слоя и логарифмического потенциала двойного слоя [135]
    7. Теорема о предельных значениях нормальной производной потенциала простого слоя и логарифмического потенциала простого слоя [140]
    8. Метод интегральных уравнений решения основных краевых задач теории потенциала [143]
    9. Применения основных теорем теории потенциала к выводу формул, дающих решение краевых задач для некоторых канонических областей [154]
    10. Решение задачи Неймана для шара и внешности шара [162]
  §5. Уравнение Дu - k2u = 0 [166]
    1. Принцип положительного максимума и его следствия [166]
2. Интегральные представления решений и теория потенциала для уравнения Дu - k2u = 0 с тремя независимыми переменными [167]
3. Интегральные представления решений и теория потенциала для уравнения Дu - k2u = 0 с двумя независимыми переменными [171]
Глава 4. Параболические уравнения. Основные краевые задачи. Общие свойства решений уравнения теплопроводности.
  §1. Постановка основных краевых задач и их физическое содержание [177]
  §2. Единственность решений первой, второй и третьей краевых задач [181]
  §3. Принцип максимума. Единственность и устойчивость решений задачи Коши, первой и обобщенной первой краевых задач [183]
  §4. Функции единичного мгновенного источника и единичного мгновенного диполя для уравнения теплопроводности [185]
    1. Понятие о b-функции [185]
    2. Решение задачи Коши. Функции единичного мгновенного источника и единичного мгновенного диполя [194]
  §5. Функция влияния. Интегральные представления решений первой, второй и третьей краевых задач. Дифференциальные свойства решений уравнения теплопроводности [200]
  §6. Примеры построения функций влияния для отдельных областей [207]
    1. Функции влияния первой и второй краевых задач для n-мерного полупространства [207]
    2. Функции влияния первой и второй краевых задач для n-мерного пространственного слоя [209]
    3. Функция влияния третьей краевой задачи для n-мерного полупространства [213]
  §7. Приведение краевых задач для уравнения теплопроводности к краевым задачам простейшего, вида. Интеграл Дюгамеля. Примеры построения явных формул для решений отдельных краевых задач [215]
  §8. Тепловые потенциалы. Понятие о методе интегральных уравнений [224]
  §9. Обобщенные тепловые потенциалы. Примеры решения краевых задач с подвижными границами [232]
Глава 5. Гиперболические уравнения. Основные краевые задачи. Установившиеся колебания. Распространение и искажение волн.
  §1. Постановка простейших основных краевых задач и их физическое содержание [237]
  §2. Единственность и непрерывная зависимость от начальных условий решений первой, второй и третьей краевых задач [241]
  §3. Уравнение струны. Интеграл Даламбера. Область определенности. Физические выводы [245]
  §4. Функция Грина. Интегральные представления решений первой, второй и третьей краевых задач [255]
  §5. Решение задачи Коши для трехмерного и двумерного волновых уравнений. Физические выводы. Инвариантность волнового уравнения по отношению к преобразованию Лоренца [264]
  §6. Интегральные представления решений волнового уравнения [274]
    1. Формула Остроградского для волнового оператора [274]
    2. Одномерный случай. Основная интегральная формула. Решение характеристической задачи и задачи о распространении звука от движущегося источника [276]
    3. Двумерный случай. Основная интегральная формула. Решение характеристической задачи [280]
    4. Трехмерный случай. Основная интегральная формула. Решение характеристической задачи [285]
    5. Формула Кирхгофа [290]
  §7. Волновые потенциалы. Функции излучения [295]
    1. Волновые потенциалы. Функции волновых источников и диполей [295]
    2. Функции излучения [302]
  §8. Решение задачи Коши для телеграфного уравнения и для n-мерного волнового уравнения (n› 3). Теорема о средних значениях [307]
    1. Решение задачи Коши для одномерного и двумерного телеграфных уравнений методом добавочной переменной [307]
    2. Решение задачи Коши для трехмерного телеграфного уравнения и для n-мерного волнового уравнения [n› 3) [309]
    3. Теорема о средних значениях [326]
  §9. Линейное гиперболическое уравнение общего вида с двумя независимыми переменными. Функция единичного импульса [328]
    1. Сопряженные дифференциальные операторы [328]
    2. Основная интегральная формула. Функция Римана [330]
    3. Существование и единственность решения задачи Коши, решения характеристической задачи и функции Римана [336]
    4. Построение функции Римана для телеграфного уравнения и для уравнения Эйлера - Пуассона [342]
  §10. Краевые задачи об установившихся колебаниях и задачи без начальных условий. Условия излучения [349]
    1. Краевые задачи об установившихся колебаниях для волнового уравнения [349]
    2. Краевые задачи об установившихся колебаниях для телеграфного уравнения и задачи без начальных условий [360]
    3. Решение задачи об установившихся колебаниях для пространства. Условия излучения [367]
  §11. Вопросы, связанные с уравнением характеристик. Распространение фронта волны. Распространение разрывов. Дисперсия волн [379]
    1. Уравнение распространения разрывов решений и обобщенных решений [379]
    2. Решение задачи о распространении фронта волны. Закон преломления света [389]
    3. Волны с затуханием. Волны с дисперсией и искажение волн [394]
    4. Понятие о счете по характеристикам [402]
Глава 6. Метод разделения переменных в применении к гиперболическим, параболическим и эллиптическим уравнениям. Задача о собственных значениях и собственных функциях. Элементы теории специальных функций.
  §1. Применение-метода разделения переменных к решению краевых задач, связанных с тригонометрическими функциями кратного аргумента [405]
    1. Решение первой краевой задачи для одномерного волнового уравнения [406]
    2. Решение первой краевой задачи для одномерного уравнения теплопроводности [413]
    3. Решение задачи Дирихле для кольца [417]
    4. Решение задачи Дирихле для прямоугольника [419]
    5. Решение задачи о колебаниях прямоугольной мембраны [422]
  §2. Общая теория одномерной задачи о собственных значениях и собственных функциях и ее применения к обоснованию метода разделения переменных [427]
    1. Сопряженные и самосопряженные краевые задачи [427]
    2. Простейшие свойства собственных значений и собственных функций одномерной задачи Штурма - Лиувилля [429]
    3. Функция влияния и интегральное уравнение задачи о собственных значениях и собственных функциях [432]
    4. Теорема о разложении. Полные ортонормированные системы функций и теорема о полноте [440]
    5. Асимптотические формулы для собственных значений, собственных функций и их производных [448]
    6. Теорема о коэффициентах Фурье и почленное дифференцирование разложений по собственным функциям [457]
    7. Решение краевых задач для параболического уравнения общего вида с двумя независимыми переменными [465]
    8. Решение краевых задач для гиперболического уравнения общего вида с двумя независимыми переменными [470]
    9. Приближенное определение собственных значений и собственных функций и их вариационные свойства. Понятие о методе Ритца [476]
  §3. Простейшие свойетва цилиндрических функций и применение их к решению краевых задач [495]
    1. Определение и простейшие свойства цилиндрических функций [495]
    2. Задача о колебаниях круглой мембраны с закрепленными краями [504]
  §4. Простейшие свойства сферических функций и применение их к решению краевых задач [509]
    1. Полиномы Лежандра [509]
    2. Присоединенные функции [515]
    3. Сферические функции [518]
    4. Примеры задач, приводящих к сферическим и шаровым функциям [520]
Глава 7. Методы интегральных преобразований.
  §1. Метод интеграла Фурье решения задачи Коши [525]
  §2. Преобразование Лапласа. Основы операционного исчисления [533]
  §3. Методы конечных интегральных преобразований [543]
Формат: djvu + ocr
Размер:65555769 байт
Язык:РУС
Рейтинг: 133 Рейтинг
Открыть: Ссылка (RU)