Основы вычислительной математики, изд. 4

Автор(ы):Демидович Б. П., Марон И. А.
27.11.2023
Год изд.:1970
Издание:4
Описание: Книга посвящена изложению важнейших методов и приемов вычислительной математики на базе общего втузовского курса высшей математики. Основная часть книги является учебным пособием по курсу приближенных вычислений для втузов. Книга может быть полезна также для лиц, работающих в области прикладной математики.
Оглавление:
Основы вычислительной математики — обложка книги. Обложка книги.
Предисловие к первому изданию [9]
Предисловие ко второму изданию [12]
Предисловие к четвертому изданию [12]
Введение. Общие правила вычислительной работы [13]
Глава 1. Приближенные числа [17]
  §1. Абсолютная и относительная погрешности [17]
  §2. Основные источники погрешностей [20]
  §3. Десятичная запись приближенных чисел. Значащая цифра. Число верных знаков [21]
  §4. Округление чисел [24]
  §5. Связь относительной погрешности приближенного числа с количеством верных знаков этого числа [25]
  §6. Таблицы для определения предельной относительной погрешности по числу верных знаков и наоборот [28]
  §7. Погрешность суммы [31]
  §8. Погрешность разности [33]
  §9. Погрешность произведения [35]
  §10. Число верных знаков произведения [37]
  §11. Погрешность частного [38]
  §12. Число верных знаков частного [39]
  §13. Относительная погрешность степени [39]
  §14. Относительная погрешность корня [39]
  §15. Вычисления без точного учета погрешностей [40]
  §16. Общая формула для погрешности [41]
  §17. Обратная задача теории погрешностей [43]
  §18. Точность определения аргумента для функции, заданной таблицей [46]
  §19. Способ границ [48]
  §20. Понятие о вероятностной оценке погрешности [51]
  Литература к первой главе [52]
Глава II. Некоторые сведения из теории цепных дробей [53]
  §1. Определение цепной дроби [53]
  §2. Обращение цепной дроби в обыкновенную и обратно [54]
  §3. Подходящие дроби [56]
  §4. Бесконечные цепные дроби [64]
  §5. Разложение функций в цепные дроби [70]
  Литература ко второй главе [73]
Глава III. Вычисление значений функций [74]
  §1. Вычисление значений полинома. Схема Горнера [74]
  §2. Обобщенная схема Горнера [77]
  §3. Вычисление значений рациональных дробей [79]
  §4. Приближенное нахождение сумм числовых рядов [80]
  §5. Вычисление значений аналитической функции [86]
  §6. Вычисление значений показательной функции [88]
  §7. Вычисление значений логарифмической функции [92]
  §8. Вычисление значений тригонометрических функций [95]
  §9. Вычисление значений гиперболических функций [98]
  §10. Применение метода итерации для приближенного вычисления значений функции [100]
  §11. Вычисление обратной величины [101]
  §12. Вычисление квадратного корня [104]
  §13. Вычисление обратной величины квадратного корня [108]
  §14. Вычисление кубического корня [108]
  Литература к третьей главе [111]
Глава IV. Приближенное решение алгебраических, и трансцендентных уравнений [112]
  §1. Отделение корней [112]
  §2. Графическое решение уравнений [116]
  §3. Метод половинного деления [118]
  §4. Способ пропорциональных частей [метод хорд) [119]
  §5. Метод Ньютона [метод касательных) [123]
  §6. Видоизмененный метод Ньютона [131]
  §7. Комбинированный метод [132]
  §8. Метод итерации [135]
  §9. Метод итерации для системы двух уравнений [148]
  §10. Метод Ньютона для системы двух уравнений [152]
  §11. Метод Ньютона для случая комплексных корней [153]
  Литература к четвертой главе [157]
Глава V. Специальные приемы для приближенного решения алгебраических уравнений [158]
  §1. Общие свойства алгебраических уравнений [158]
  §2. Границы действительных корней алгебраических уравнений [163]
  §3. Метод знакопеременных сумм [165]
  §4. Метод Ньютона [167]
  §5. Число действительных корней полинома [169]
  §6. Теорема Бюдана - Фурье [171]
  §7. Идея метода Лобачевского - Греффе [176]
  §8. Процесс квадрирования корней [178]
  §9. Метод Лобачевского - Греффе для случая действительных различных корней [180]
  §10. Метод Лобачевского - Греффе для случая комплексных корней [183]
  §11. Случай пары комплексных корней [186]
  §12. Случай двух пар комплексных корней [190]
  §13. Метод Бернулли [195]
  Литература к пятой главе [198]
Глава VI. Улучшение сходимости рядов [199]
  §1. Улучшение сходимости числовых рядов [199]
  §2. Улучшение сходимости степенных рядов методом Эйлера - Абеля [205]
  §3. Оценки коэффициентов Фурье [210]
  §4. Улучшение сходимости тригонометрических рядов Фурье методом А.Н. Крылова [213]
  §5. Приближенное суммирование тригонометрических рядов [222]
  Литература к шестой главе [224]
Глава VII. Алгебра матриц [225]
  §1. Основные определения [225]
  §2. Действия с матрицами [226]
  §3. Транспонированная матрица [230]
  §4. Обратная матрица [231]
  §5. Степени матрицы [236]
  §6. Рациональные функции матрицы [237]
  §7. Абсолютная величина и норма матрицы [238]
  §8. Ранг матрицы [244]
  §9. Предел матрицы [245]
  §10. Матричные ряды [247]
  §11. Клеточные матрицы [252]
  §12. Обращение матриц при помощи разбиения на клетки [255]
  §13. Треугольные матрицы [260]
  §14. Элементарные преобразования матриц [263]
  §15. Вычисление определителей [264]
  Литература к седьмой главе [267]
Глава VIII. Решение систем линейных уравнений [263]
  §1. Общая характеристика методов решения систем линейных уравнений [268]
  §2. Решение систем с помощью обратной матрицы. Формулы Крамера [268]
  §3. Метод Гаусса [272]
  §4. Уточнение корней [279]
  §5. Метод главных элементов [281]
  §6. Применение метода Гаусса для вычисления определителей [283]
  §7. Вычисление обратной матрицы методом Гаусса [285]
  §8. Метод квадратных корней [287]
  §9. Схема Халецкого [290]
  §10. Метод итерации [294]
  §11. Приведение линейной системы к виду, удобному для итерации [301]
  §12 Метод Зейделя [303]
  §13. Случай нормальной системы [305]
  §14. Метод релаксации [307]
  §15. Исправление элементов приближенной обратной матрицы [310]
  Литература к восьмой главе [314]
Глава IX. Сходимость итерационных процессов для систем линейных уравнений [315]
  §1. Достаточные условия сходимости процесса итерации [315]
  §2. Оценка погрешности приближений процесса итерации [317]
  §3. Первое достаточное условие сходимости процесса Зейделя [320]
  §4. Оценка погрешности приближений процесса Зейделя по m-норме [322]
  §5. Второе достаточное условие сходимости процесса Зейделя [323]
  §6. Оценка погрешности приближений процесса Зейделя по l-норме [325]
  §7. Третье достаточное условие сходимости процесса Зейделя [326]
  Литература к девятой главе [328]
Глава X. Основные сведения из теории линейных векторных пространств [329]
  §1. Понятие линейного векторного пространства [329]
  §2. Линейная зависимость векторов [330]
  §3. Скалярное произведение векторов [335]
  §4. Ортогональные системы векторов [338]
  §5. Преобразования координат вектора при изменениях базиса [340]
  §6. Ортогональные матрицы [342]
  §7. Ортогонализация матриц [343]
  §8. Применение методов ортогонализации к решению систем линейных уравнений [351]
  §9. Пространство решений однородной системы [356]
  §10. Линейные преобразования переменных [359]
  §11. Обратное преобразование [365]
  §12. Собственные векторы и собственные значения матрицы [367]
  §13. Подобные матрицы [372]
  §14. Билинейная форма матрицы [375]
  §15. Свойства симметрических матриц [376]
  §16. Свойства матриц с действительными элементами [381]
  Литература к десятой главе [385]
Глава XI. Дополнительные сведения о сходимости итерационных процессов для систем линейных уравнений [386]
  §1. Сходимость матричных степенных рядов [386]
  §2. Тождество Гамильтона - Кели [389]
  §3. Необходимые и достаточные условия сходимости процесса итерации для системы линейных уравнений [390]
  §4. Необходимые и достаточные условия сходимости процесса Зейделя для системы линейных уравнений [392]
  §5. Сходимость процесса Зейделя для нормальной системы [395]
  §6. Способы эффективной проверки условий сходимости [397]
  Литература к одиннадцатой главе [401]
Глава XII. Нахождение собственных значений и собственных векторов матрицы [402]
  §1. Вводные замечания [402]
  §2. Развертывание вековых определителей [402]
  §3. Метод А.М. Данилевского [404]
  §4. Исключительные случаи в методе А.М. Данилевского [410]
  §5. Вычисление собственных векторов по методу А.М. Данилевского [411]
  §6. Метод А.Н. Крылова [412]
  §7. Вычисление собственных векторов по методу А.Н. Крылова [416]
  §8. Метод Леверрье [417]
  §9. Понятие о методе неопределенных коэффициентов [419]
  §10. Сравнение различных методов развертывания векового определителя [421]
  §11. Нахождение наибольшего по модулю собственного значения матрицы и соответствующего собственного вектора [421]
  §12. Метод скалярных произведений для нахождения первого собственного значения действительной матрицы [428]
  §13. Нахождение второго собственного значения матрицы и второго собственного вектора [431]
  §14. Метод исчерпывания [434]
  §15. Нахождение собственных элементов положительно определенной симметрической матрицы [437]
  §16. Использование коэффициентов характеристического полинома матрицы для ее обращения [442]
  §17. Метод Л.А. Люстерника улучшения сходимости процесса итерации для решения системы линейных уравнений [444]
  Литература к двенадцатой главе [449]
Глава XIII. Приближенное решение систем нелинейных уравнений [450]
  §1. Метод Ньютона [450]
  §2. Общие замечания о сходимости процесса Ньютона [456]
  §3. Существование корней системы и сходимость процесса Ньютона [460]
  §4. Быстрота сходимости процесса Ньютона [465]
  §5. Единственность решения [466]
  §6. Устойчивость сходимости процесса Ньютона при варьировании начального приближения [469]
  §7. Модифицированный метод Ньютона [471]
  §8. Метод итерации [474]
  §9. Понятие о сжимающем отображении [477]
  §10. Первое достаточное условие сходимости процесса итерации [481]
  §11. Второе достаточное условие сходимости процесса итерации [483]
  §12. Метод скорейшего спуска [метод градиента) [485]
  §13. Метод скорейшего спуска для случая системы линейных уравнений [490]
  §14. Метод степенных рядов [494]
  Литература к тринадцатой главе [496]
Глава XIV. Интерполирование функций [497]
  §1. Конечные разности различных порядков [497]
  §2. Таблица разностей [500]
  §3. Обобщенная степень [505]
  §4. Постановка задачи интерполирования [507]
  §5. Первая интерполяционная формула Ньютона [508]
  §6. Вторая интерполяционная формула Ньютона [514]
  §7. Таблица центральных разностей [518]
  §8. Интерполяционные формулы Гаусса [519]
  §9. Интерполяционная формула Стирлинга [521]
  §10. Интерполяционная формула Бесселя [521]
  §11. Общая характеристика интерполяционных формул с постоянным шагом [524]
  §12. Интерполяционная формула Лагранжа [527]
  §13. Вычисление лагранжевых коэффициентов [531]
  §14. Оценка погрешности интерполяционной формулы Лагранжа [535]
  §15. Оценки погрешностей интерполяционных формул Ньютона [537]
  §16. Оценки погрешностей центральных интерполяционных формул [539]
  §17. О наилучшем выборе узлов интерполирования [540]
  §18. Разделенные разности [542]
  §19. Интерполяционная формула Ньютона для неравноотстоящих значений аргумента [544]
  §20. Обратное интерполирование для случая равноотстоящих узлов [547]
  §21. Обратное интерполирование для случая неравноотстоящих узлов [550]
  §22. Нахождение корней уравнения методом обратного интерполирования [551]
  §23. Метод интерполяции для развертывания векового определителя [553]
  §24. Интерполирование функций двух переменных [555]
  §25. Двойные разности высших порядков [557]
  §26. Интерполяционная формула Ньютона для функции двух переменных [558]
  Литература к четырнадцатой главе [561]
Глава XV. Приближенное дифференцирование [562]
  §1. Постановка вопроса [562]
  §2. Формулы приближенного дифференцирования, основанные на первой интерполяционной формуле Ньютона [563]
  §3. Формулы приближенного дифференцирования, основанные на формуле Стирлинга [567]
  §4. Формулы численного дифференцирования для равноотстоящих точек, выраженные через значения функции в этих точках [571]
  §5. Графическое дифференцирование [574]
  §6. Понятие о приближенном вычислении частных производных [575]
  Литература к пятнадцатой главе [576]
Глава XVI. Приближенное интегрирование функций [577]
  §1. Общие замечания [577]
  §2. Квадратурные формулы Ньютона - Котеса [580]
  §3. Формула трапеций и ее остаточный член [582]
  §4. Формула Симпсона и ее остаточный член [583]
  §5. Формулы Ньютона - Котеса высших порядков [586]
  §6. Общая формула трапеций [правило трапеций) [588]
  §7. Общая формула Симпсона [параболическая формула) [589]
  §8. Понятие о квадратурной формуле Чебышева [593]
  §9. Квадратурная формула Гаусса [597]
  §10. Некоторые замечания о точности квадратурных формул [604]
  §11. Экстраполяция по Ричардсону [607]
  §12. Числа Бернулли [611]
  §13. Формула Эйлера - Маклорена [613]
  §14. Приближенное вычисление несобственных интегралов [618]
  §15. Метод Л.В. Канторовича выделения особенностей [621]
  §16. Графическое интегрирование [624]
  §17. Понятие о кубатурных формулах [627]
  §18. Кубатурная формула типа Симпсона [629]
  Литература к шестнадцатой главе [633]
Глава XVII. Метод Монте-Карло [634]
  §1. Идея метода Монте-Карло [634]
  §2. Случайные числа [635]
  §3. Способы получения случайных чисел [638]
  §4. Вычисление кратных интегралов методом Монте-Карло [641]
  §5. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Монте-Карло [650]
  Литература к семнадцатой главе [658]
Предметный указатель [659]
Формат: djvu + ocr
Размер:45523760 байт
Язык:РУС
Рейтинг: 299 Рейтинг
Открыть: Ссылка (RU)