Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений, изд. 4
Автор(ы): | Матвеев Н. М.
27.07.2023
|
Год изд.: | 1974 |
Издание: | 4 |
Описание: | Учебник для механико-математических факультетов университетов по курсу дифференциальных уравнений. В книге даются основные понятия и определения теории обыкновенных дифференциальных уравнений, излагаются наиболее важные методы интегрирования, доказываются теоремы существования решений и исследуются свойства последних. Может использоваться в педагогических институтах и технических вузах, особенно будет полезна студентам-заочникам и лицам, самостоятельно изучающим теорию обыкновенных дифференциальных уравнений. |
Оглавление: |
Обложка книги.
Предисловие [13]Введение [15] Глава первая. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА, РАЗРЕШЕННЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ПРОИЗВОДНОЙ. УРАВНЕНИЯ, ИНТЕГРИРУЕМЫЕ В КВАДРАТУРАХ. §1. Основные понятия и определения [23] 1. Понятие об уравнении первого порядка, разрешенном относительно производной [23] 2. Решение уравнения [24] 3. Неявное и параметрическое задания решения [25] 4. Геометрическое истолкование [26] 5. Задача Коши [31] 6. Достаточное условие существования решения задачи Коши [35] 7. Достаточные условия существования и единственности решения задачи Коши [36] 8. Общее решение [39] 9. Общий интеграл. Общее решение в параметрической форме [42] 10. Частное решение [43] 11. Особое решение [44] 12. Нахождение кривых, подозрительных на особое решение по дифференциальному уравнению [46] 13. Отсутствие особых решений у уравнения первого порядка с правой частью, рациональной относительно у [47] 14. Огибающая семейства интегральных кривых как особое решение [49] 15. Нахождение кривых, подозрительных на особое решение, в процессе построения общего решения [общего интеграла) [52] 16. Понятие об интеграле дифференциального уравнения. Зависимость любых двух интегралов одного и того же уравнения [53] 17. Связь между обыкновенным дифференциальным уравнением и уравнением с частными производными [60] 18. Замечание об интегрируемости в квадратурах [61] §2. Неполные уравнения [63] 19. Уравнение, не содержащее искомой функции [63] 20. Уравнение, не содержащее независимой переменной [65] §3. Уравнение с разделяющимися переменными [70] 21. Построение общего интеграла [70] 22. Особые решения [72] 23. Примеры [73] §4. Однородное уравнение [75] 24. Построение общего интеграла [75] 25. Особые решения [77] 26. Пример [77] 27. Геометрическое свойство интегральных кривых однородного уравнения [78] 28. Простейшее уравнение, приводящееся к однородному [81] §5. Обобщенное однородное уравнение [82] 29. Построение общего интеграла. Особые решения [82] 30. Пример [84] §6. Линейное уравнение [85] 31. Понятие о линейном уравнении [85] 32. Существование и единственность решения задачи Коши. Общие свойства линейного уравнения [85] 33. Построение общего решения однородного линейного уравнения [88] 34. Свойства решений однородного линейного уравнения [90] 35. Структура общего решения неоднородного линейного уравнения [91] 36. Метод вариации произвольной постоянной [метод Лагранжа) [92] 37. Примеры [96] 38. Геометрическое свойство интегральных кривых линейного уравнения [97] §7. Уравнение Бернулли [100] 39. Построение общего решения [100] 40. Особое решение [101] §8. Уравнение Дарбу [102] 41. Построение общего интеграла. Особые решения [102] 42. Пример [103] §9. Уравнение Якоби [103] 43. Построение общего интеграла [103] 44. Примеры [106] §10. Уравнение Риккати [108] 45. Существование и единственность решения задачи Коши. Общие свойства уравнения Риккати [108] 46. Приведение уравнения Риккати к каноническому виду [110] 47. Простейшие случаи интегрируемости в квадратурах [112] 48. Построение общего решения в случае, когда известно одно частное решение [113] 49. Структура общего решения [115] 50. Построение общего решения в случае, когда известны два или три частных решения [116] 51. Специальное уравнение Риккати [117] §11. Уравнение в полных дифференциалах [118] 52. Понятие об уравнении в полных дифференциалах [118] 53. Признак уравнения в полных дифференциалах. Построение общего интеграла [120] 54. Решение задачи Коши [123] §12. Интегрирующий множитель. Простейшие случаи нахождения интегрирующего множителя [124] 55. Понятие об интегрирующем множителе [124] 56. Случай интегрирующего множителя, зависящего только от x [125] 57. Случай интегрирующего множителя, зависящего только от y [127] 58. Случай интегрирующего множителя вида µ=µ [w(x, y)] [127] 59. Интегрирующий множитель и особые решения [128] 60. Интегрирующий множитель уравнения с разделяющимися переменными [129] 61. Интегрирующий множитель однородного уравнения [130] §13. Интегрирующий множитель. Общая теория [131] 62. Теорема о существовании интегрирующего множителя [131] 63. Теорема о неединственности интегрирующего множителя [133] 64. Теорема об общем виде интегрирующего множителя и ее следствие [133] 65. Один общий способ нахождения интегрирующего множителя [135] Глава вторая. УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА, НЕ РАЗРЕШЕННЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ПРОИЗВОДНОЙ. УРАВНЕНИЯ, ИНТЕГРИРУЕМЫЕ В КВАДРАТУРАХ. §14. Основные понятия и определения [137] 66. Общий случай уравнения первого порядка, не разрешенного относительно производной [137] 67. Примеры [141] 68. Нахождение кривых, подозрительных на особое решение, по дифференциальному уравнению [146] 69. Огибающая семейства интегральных кривых как особое решение [149] §15. Неполные уравнения [150] 70. Уравнение, содержащее только производную [150] 71. Уравнение, не содержащее искомой функции [151] 72. Уравнение, не содержащее независимой переменной [155] 73. Обобщенное однородное уравнение [157] §16. Общий метод введения параметра [158] 74. Приведение уравнения, не разрешенного относительно производной, к уравнению, разрешенному относительно производной. Общий случай [158] 75. Случай, когда уравнение разрешимо относительно искомой функции [159] 76. Случай, когда уравнение разрешимо относительно независимой переменной [160] 77. Уравнение Лагранжа [161] 78. Уравнение Клеро [164] §17. Задача о траекториях [167] 79. Задача о траекториях на плоскости в случае декартовых координат [167] 80. Примеры [169] 81. Случай полярных координат [170] Глава третья. УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ. ОБЩИЕ ВОПРОСЫ. ПРОСТЕЙШИЕ УРАВНЕНИЯ n-го ПОРЯДКА. §18. Основные понятия и определения [174] 82. Предварительные замечания [174] 83. Геометрическое истолкование [175] 84. Механическое истолкование уравнения второго порядка [175] 85. Задача Коши [177] 86. Достаточные условия существования и единственности решения задачи Коши [179] 87. Понятие о краевой (граничной) задаче [181] 88. Общее решение [184] 89. Общий интеграл [185] 90. Общее решение в параметрической форме [186] 91. Частное решение [186] 92. Особое решение [186] 93. Промежуточные интегралы. Первые интегралы [187] 94. Замечание об уравнении n-го порядка, не разрешенном относительно старшей производной [188] §19. Уравнения, интегрируемые в квадратурах, и уравнения, допускающие понижение порядка [189] 95. Уравнение, содержащее только независимую переменную и производную порядка n [189] 96. Уравнение, не содержащее искомой функции, и уравнение, не содержащее искомой функции и последовательных первых производных [197] 97. Уравнение, не содержащее независимой переменной [200] 98. Уравнение, однородное относительно искомой функции и ее производных [203] 99. Обобщенное однородное уравнение [204] 100. Уравнение, левая часть которого есть точная производная [207] Глава четвертая. СИСТЕМЫ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ. ОБЩИЕ ВОПРОСЫ. §20. Нормальные системы дифференциальных уравнений [210] 101. Предварительные замечания [210] 102. Геометрическое истолкование нормальной системы [213] 103. Механическое истолкование нормальной системы [213] 104. Задача Коши [216] 105. Достаточные условия существования и единственности решения задачи Коши [218] 106. Общее решение [219] 107. Частное решение [221] 108. Особое решение [222] 109. Понятие об интеграле нормальной системы. Первые интегралы. Общий интеграл. Число независимых интегралов [222] 110. Связь между нормальной системой обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнением с частными производными [234] 111. Понижение порядка системы при помощи первых интегралов [235] 112. Приведение уравнения n-го порядка к системе и уравнений первого порядка и обратная задача [237] 113. Один общий способ интегрирования нормальной системы двух уравнений, правые части которых удовлетворяют условиям Коши - Римана [242] 114. Понятие о системе уравнений высших порядков [244] 115. Построение всего множества нормальных систем дифференциальных уравнений, имеющих заданную траекторию [246] §21. Системы дифференциальных уравнений в симметрической форме [249] 116. Понятие о системе обыкновенных дифференциальных уравнений в симметрической форме. Приведение нормальной системы к системе в симметрической форме [249] 117. Интегралы, первые интегралы и общий интеграл системы дифференциальных уравнений в симметрической форме [251] Глава пятая. ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ. §22. Теорема существования и единственности решения задачи Коши [теорема Пикара) [259] 118. Предварительные замечания [259] 119. Формулировка теоремы Пикара для нормальной системы n уравнений [260] 120. Доказательство теоремы Пикара для нормальной системы двух уравнений [263] 121. Замечание о выборе нулевого приближения [277] 122. Случай одностороннего интервала изменения независимой переменной [277] 123. Случай области, не ограниченной по искомым функциям [277] 124. Случай области, не ограниченной по всем переменным [278] 125. О продолжении решения, определяемого теоремой Пикара [283] 126. Теорема Пикара для линейной системы дифференциальных уравнений [286] 127. О решении однородной линейной системы с нулевыми начальными значениями искомых функций [290] 128. Теорема Пикара для уравнения n-го порядка [292] 129. Теорема Пикара для линейного уравнения n-го порядка [294] 130. О решении однородного линейного уравнения n-го порядка с нулевыми начальными значениями искомой функции и ее производных [295] §23. Теоремы о непрерывности и дифференцируемости решения как функции от параметров и начальных данных. Понятие об устойчивости решения в смысле Ляпунова [296] 131. Теорема о непрерывной зависимости решения нормальной системы от параметров [296] 132. Теорема о непрерывной зависимости решения нормальной системы от начальных данных [305] 133. Понятие об устойчивости решения [движения) в смысле Ляпунова [309] 134. Теорема о дифференцируемости решения по начальным данным [317] 135. Обобщения [331] §24. Теорема существования общего решения [332] 136. Теорема существования общего решения нормальной системы дифференциальных уравнений [332] 137. Замечания [337] 138. Доказательство существования n независимых интегралов нормальной системы и уравнений [337] §25. Особые точки [339] 139. Особые точки уравнения первого порядка, разрешенного относительно производной [339] 140. Особые точки нормальной системы дифференциальных уравнений. Точки равновесия [покоя) [342] 141. Поведение интегральных кривых уравнения с дробно-линейной однородной правой частью в окрестности особой точки [346] 142. Один физический пример [363] 143. Понятие о проблеме центра и фокуса [366] §26. Теорема существования и единственности голоморфного решения задачи Коши [теорема Коши) [370] 144. Понятие о голоморфном решении [370] 145. Понятие о мажоранте [371] 146. Формулировка теоремы Коши для нормальной системы n уравнений [374] 147. Доказательство теоремы Коши для нормальной системы двух уравнений [375] 148. Теорема Коши для линейной системы [385] 149. Примеры существования голоморфных решений в случае невыполнения условия теоремы Коши [392] 150. Теорема Коши для уравнения n-го порядка, разрешенного относительно старшей производной [394] 151. Теорема Коши для линейного уравнения n-го порядка [396] 152. Теорема о голоморфности решения относительно параметра [398] §27. Теорема существования решения задачи Коши (теорема Пеано) [399] 153. Теорема Арцеля [399] 154. Теорема существования решения дифференциального уравнения с непрерывной правой частью (теорема Пеано) [402] §28. Теорема Каратеодори [410] 155. Предварительные замечания [410] 156. Формулировка и доказательство теоремы Каратеодори [415] Глава шестая. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ n-го ПОРЯДКА. §29. Общие свойства линейного уравнения [424] 157. Предварительные замечания [424] 158. Инвариантность линейного уравнения относительно любого преобразования независимой переменной и относительно, любого преобразования искомой функции [426] §30. Однородное линейное уравнение n-го порядка [429] 159. Свойства решений [429] 160. Понятие о линейной независимости функций [433] 161. Необходимое условие линейной зависимости n функций [436] 162. Необходимое и достаточное условие линейной независимости n решений однородного линейного уравнения n-го порядка [438] 163. Формула Остроградского - Лиувилля [440] 164. Понятие о фундаментальной системе решений [441] 165. Доказательство существования фундаментальной системы решений [442] 166. Построение общего решения [443] 167. Число линейно независимых решений однородного линейного уравнения n-го порядка [447] 168. Построение однородного линейного уравнения, имеющего заданную фундаментальную систему решений [447] 169. Понижение порядка однородного линейного уравнения при помощи линейно независимых частных решений [450] §31. Неоднородное линейное уравнение n-го порядка [453] 170. Структура общего решения неоднородного уравнения [453] 171. Метод вариации произвольных постоянных [метод Лагранжа) [455] 172. Метод Коши [459] Глава седьмая. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ п-го ПОРЯДКА С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. §32. Однородное уравнение [463] 173. Построение фундаментальной системы решений и общего решения однородного линейного уравнения в случае различных корней характеристического уравнения [463] 174. Случай наличия кратных корней характеристического уравнения [468] 175. Однородное линейное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами [472] §33. Неоднородное уравнение [481] 176. Предварительные замечания [481] 177. Нахождение частного решения неоднородного уравнения методом неопределенных коэффициентов [481] §34. Линейные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и колебательные явления [489] 178. Свободные колебания [489] 179. Вынужденные колебания [495] §35. Операционный метод интегрирования линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами [497] 180. Некоторые сведения из операционного исчисления [497] 181. Операционный метод решения задачи Коши для линейного уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами [509] §36. Некоторые линейные уравнения n-го порядка, приводящиеся к уравнениям с постоянными коэффициентами [513] 182. Приведение однородного линейного уравнения n-го порядка к уравнению с постоянными коэффициентами при помощи замены независимой переменной [513] 183. Линейное уравнение Эйлера [515] 184. Уравнение Чебышева [519] Глава восьмая. НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ТЕОРИИ ОДНОРОДНЫХ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА. §37. Приведение к простейшим формам [521] 185. Приведение к уравнению, не содержащему члена с первой производной при помощи замены искомой функции [521] 186. Приведение к уравнению, не содержащему члена с первой производной, при помощи замены независимой переменной [525] 187. Приведение к самосопряженному виду [527] §38. Понижение порядка [531] 188. Построение общего решения однородного линейного уравнения второго порядка в случае, когда известно одно частное решение [531] 189. Связь между однородным линейным уравнением второго порядка и уравнением Риккати [535] §39. Интегрирование при помощи степенных рядов и обобщенных степенных рядов [536] 190. Представление решений однородного линейного уравнения второго порядка в окрестности обыкновенной точки в виде степенных рядов [536] 191. Представление решений в окрестности особой точки в виде обобщенных степенных рядов [545] 192. Уравнение Бесселя [555] 193. Гипергеометрическое дифференциальное уравнение [572] §40. Колебательный характер решений однородных линейных уравнений второго порядка [581] 194. Колеблющиеся и неколеблющиеся решения [581] 195. Теорема Штурма [586] 196. Теорема сравнения [587] Глава девятая. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ. §41. Однородные линейные системы [603] 197. Предварительные замечания [603] 198. Свойства решений однородной системы [606] 199. Понятие о линейной независимости систем функций [608] 200. Необходимое условие линейной зависимости n систем функций [610] 201. Необходимое и достаточное условие линейной независимости n решений однородной линейной системы n уравнений [611] 202. Формула Остроградского - Лиувилля - Якоби [612] 203. Понятие о фундаментальной системе решений [613] 204. Теорема о существовании фундаментальной системы решений [614] 205. Построение общего решения [615] 206. Число линейно независимых решений однородной линейной системы n уравнений. Первые интегралы [616] 207. Понятие о сопряженной (присоединенной) системе [617] 208. Построение однородной линейной системы уравнений, имеющей заданную фундаментальную систему решений [620] §42. Неоднородные линейные системы [621] 209. Структура общего решения неоднородной системы [621] 210. Метод вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа) [622] Глава десятая. ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. §43. Метод Эйлера [624] 211. Построение фундаментальной системы решений и общего решения однородной линейной системы в случае различных корней характеристического уравнения [624] 212. Случай наличия кратных корней характеристического уравнения [632] 213. Достаточные условия устойчивости и неустойчивости нулевого решения однородной линейной системы с постоянными коэффициентами [641] 214. Теорема Ляпунова об устойчивости по первому приближению в случае автономной системы [648] 215. Приведение однородной линейной системы к системе с постоянными коэффициентами при помощи замены независимой переменной [651] 216. Интегрирование неоднородной линейной системы с постоянными коэффициентами методом вариации произвольных постоянных [653] §44. Другие методы интегрирования линейных систем с постоянными коэффициентами [653] 217. Интегрирование линейной системы с постоянными коэффициентами при помощи приведения ее к уравнению n-го порядка [метод исключения) [653] 218. Метод Даламбера [655] 219. Операционный метод решения задачи Коши для линейной системы с постоянными коэффициентами [657] §45. Линейные системы с постоянными коэффициентами, содержащие производные выше первого порядка [660] 220. Метод исключения [660] 221. Метод Даламбера [660] Глава одиннадцатая. МАТРИЧНЫЙ МЕТОД ИНТЕГРИРОВАНИЯ ОДНОРОДНЫХ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ. §46. Некоторые сведения из теории матриц [662] 222. Предварительные замечания [662] 223. Понятие о матрице [663] 224. Алгебраические операции над матрицами [666] 225. Характеристические числа матрицы. Элементарные делители матрицы [672] 226. Преобразование подобия. Приведение матрицы к каноническому виду [677] 227. Дифференцирование и интегрирование матриц [681] 228. Понятие о матричном степенном ряде [683] §47. Запись и интегрирование однородной линейной системы дифференциальных уравнений в матричной форме [688] 229. Построение матричного уравнения, равносильного однородной линейной системе [688] 230. Два общих свойства матричного уравнения, соответствующего однородной линейной системе [691] 231. Основные свойства интегральной матрицы [692] 232. Случай Лаппо - Данилевского [694] 233. Сопряженное [присоединенное) матричное уравнение [695] §48. Интегрирование однородной линейной системы с постоянными коэффициентами [697] 234. Структура фундаментальной системы решений однородной линейной системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Группы решений [697] 235. Приведение однородной линейной системы с постоянными коэффициентами к каноническому виду [702] 236. Вид фундаментальной системы решений однородной линейной системы с периодическими коэффициентами [710] 237. Понятие о приводимых системах [712] §49. Интегрирование линейных систем матрично-векторным методом [714] 238. Матрично-векторная запись линейной системы и ее решение. Задача Коши [714] 239. Два общих свойства матрично-векторного уравнения, соответствующего линейной системе [715] 240. Основные свойства решений однородного матрично-векторного уравнения [716] 241. Линейно независимые решения и построение общего решения однородного матрично-векторного уравнения [717] 242. Формула Коши для неоднородной линейной системы [719] Глава двенадцатая. ПОНЯТИЕ ОБ УРАВНЕНИЯХ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ ПЕРВОГО ПОРЯДКА. §50. Однородное линейное уравнение [722] 243. Связь между однородным линейным уравнением с частными производными первого порядка и соответствующей ему системой обыкновенных дифференциальных уравнений в симметрической форме [722] 244. Построение общего решения однородного линейного уравнения [725] 245. Решение задачи Коши для однородного линейного уравнения [729] §51. Неоднородное линейное уравнение [733] 246. Построение общего решения неоднородного линейного уравнения [733] 247. Решение задачи Коши для неоднородного линейного уравнения [736] §52. Нелинейные уравнения [740] 248. Система двух уравнений с частными производными. Условия совместности [740] 249. Уравнение Пфаффа [742] 250. Полный интеграл нелинейного уравнения. Метод Лагранжа - Шарпи [744] Литература [749] Предметный указатель [758] |
Формат: | djvu + ocr |
Размер: | 62466646 байт |
Язык: | РУС |
Рейтинг: | 210 |
Открыть: | Ссылка (RU) |