Линейные уравнения в частных производных

Автор(ы):	Михлин С. Г. 01.12.2024
Год изд.:	1977
Описание:	В книге исследуются три классических типа уравнений математической физики: эллиптический, параболический и гиперболический. Изложение проводится для пространства любого числа измерений с широким привлечением методов функционального анализа и понятия обобщенных решений. Предназначается для студентов-математиков, а также для аспирантов и научных работников.
Оглавление:	Обложка книги. Предисловие [3] Введение [5] §1. Предмет курса [5] §2. Некоторые определения и обозначения [9] Глава 1. Интегралы, зависящие от параметра [13] §1. Равномерно сходящиеся интегралы [13] §2. Сферические координаты [15] §3. Интегральные операторы со слабой особенностью [19] §4. Интегральные операторы со слабой особенностью [продолжение) [26] Глава 2. Средние функции и обобщенные производные [129] §1. Усредняющее ядро [29] §2. Средние функции [30] §3. Понятие обобщенной производной [33] §4. Простейшие свойства обобщенной производной [37] §5. Предельные свойства обобщенных производных [39] §6. Случай одной независимой переменной [40] §7. Об одном свойстве функций, имеющих обобщенную первую производную [41] §8. Производные от интегралов со слабой особенностью [43] Глава 3. Пространства функций с обобщенными производными [44] §1. Определение пространства W(k) [44] §2. Соболевское интегральное тождество [46] §3. Теоремы вложения [49] §4. Распространение на более общие области [52] §5. Эквивалентные нормы, в соболевских пространствах [53] §6. Неравенства Фридрихса и Пуанкаре [55] Глава 4. Положительно определенные операторы [59] §1. Квадратичные функционалы [59] §2. Положительно определенные операторы [60] §3. Энергетическое пространство [64] §4. Функционал энергии и задача о его минимуме [70] §5. Обобщенное решение [72] §6. О сепарабельности энергетического пространства [75] §7. Расширение положительно определенного оператора [77] §8. Простейшая краевая задача для обыкновенного линейного дифференциального оператора [80] §9. Более общая задача о минимуме квадратичного функционала [86] §10. Случай только положительного оператора [88] Глава 5. Собственный спектр положительно определенного оператора [89] §1. Понятие о собственном спектре оператора [89] §2. Собственные числа и собственные элементы симметричного оператора [90] §3. Обобщенный собственный спектр положительно определенного оператора [91] §4. Вариационная формулировка задачи о собственном спектре [93] §5. Теорема о наименьшем собственном числе [95] §6. Теорема о дискретности спектра [98] §7. Разложение по собственному спектру положительно определенного оператора [101] §8. Задача Штурма - Лиувилля [101] §9. Элементарные случаи [105] §10. Минимаксимальный принцип [109] §11. О росте собственных чисел задачи Штурма - Лиувилля [112] Глава 6. Уравнения в банаховых пространствах и одномерные сингулярные уравнения [114] §1. Некоторые понятия [114] §2. Теоремы Нетера [115] §3. Теоремы об устойчивости индекса [117] §4. Символ [120] §5. Сингулярный интеграл Коши [122] §6. Оператор Коши а пространстве L2(Г) [126] §7. Символ и регуляризация сингулярного оператора [131] §8. Вычисление индекса сингулярного оператора [132] Глава 7. Элементы теории многомерных сингулярных интегралов [135] §1. Преобразование Фурье [135] §2. Определение и условия существования сингулярного интеграла [140] §3. Теорема Жиро [142] §4. Преобразование Фурье сингулярного ядра [146] §5. Сингулярные интегралы в L2 [150] §6. О дифференцировании интегралов со слабой особенностью [154] Глава 8. Уравнения и краевые задачи [157] §1. Дифференциальное выражение и дифференциальное уравнение [157] §2. Классификация уравнений второго порядка [159] §3. Краевые условия и краевые задачи [163] §4. Задача Коши [166] §5. Проблемы существования, единственности и корректности для краевой задачи [169] Глава 9. Характеристики. Канонический вид. Формулы Грина [174] §1. Преобразование независимых переменных [174] §2. Характеристики. Соотношение между данными Коши на характеристике [175] §3. Приведение уравнений второго порядка к каноническому виду [178] §4. Формально сопряженные дифференциальные выражения [179] §5. Дифференциальные выражения высших порядков [180] §6. Формулы Грина [180] Глава 10. Обобщенные решения дифференциальных уравнений [185] §1 Локально суммируемые обобщенные решения [185] §2. Распределения и обобщенные функции [187] §3. Обобщенные функции конечного порядка [189] §4. Решения из класса обобщенных функций. Сингулярные решения [190] §5. Сингулярное решение уравнения Лапласа [190] §6. Сингулярное решение уравнения теплопроводности [194] §7. Сингулярное решение волнового уравнения [196] Глава 11. Уравнение Лапласа и гармонические функции [199] §1. Основные понятия [199] §2. Замена переменных в операторе Лапласа [200] §3. Интегральное представление функций класса С(2) и гармонических функций [205] §4. Понятие о потенциалах [207] §5. Свойства объемного потенциала [209] §6. Теоремы о среднем [212] §7. Принцип максимума [214] §8. Подпространства гармонических функций [216] Глава 12. Задачи Дирихле и Неймана [220] §1. Постановка задач [220] §2. Теоремы единственности для уравнения Лапласа [221] §3. Решение задачи Дирихле для шара [225] §4. Теорема Лиувилля [230] §5. Задача Дирихле для внешности сферы [231] §6. Производные гармонической функции на бесконечности [232] §7. Устранимые особенности гармонических функций [233] Глава 13. Сферические функции [235] §1. Понятие о сферических функциях [235] §2. Дифференциальное уравнение сферических функций [238] §3. Вспомогательные построения и утверждения [239] §4. Оператор 6 и его степени. Ортогональность сферических функций [241] §5. Разложение сингулярного решения в ряд полиномов [242] §6. Интегральное уравнение сферических функций [246] §7. Полнота системы сферических функций [248] Глава 14. Теория потенциала [251] §1. Поверхности Ляпунова [251] §2. Телесный угол [253] §3. Прямое значение потенциала двойного слоя [258] §4. Интеграл Гаусса [259] §5. Предельные значения потенциала двойного слоя [261] §6. Непрерывность потенциала простого слоя [264] §7. Нормальная производная потенциала простого слоя [266] Глава 15. Интегральные уравнения теории потенциала [271] §1. Сведение задач Дирихле и Неймана к интегральным уравнениям [271] §2. Задачи Дирихле и Неймана для полупространства [273] §3. Исследование первой пары сопряженных уравнений [274] §4. Исследование второй пары сопряженных уравнений [276] §5. Решение внешней задачи Дирихле [278] §6. Случай двух независимых переменных [280] §7. Уравнения теории потенциала для круга [284] Глава 16. Задача о косой производной [287] §1. Постановка задачи [287] §2. Случай двух переменных. Индекс задачи [288] §3. О непрерывности решений [290] §4. Более простой случай задачи о косой производной [291] §5. Случай многих переменных [295] Глава 17. Вариационный метод. Слабые решения [297] §1. Задача Дирихле с однородным краевым условием [297] §2. Энергетическое пространство задачи Дирихле [302] §3. Задача Дирихле для однородного уравнения [306] §4. Вторые производные слабого решения уравнения Лапласа [307] §5. Об условии продолжимости [309] §6. Функция Грина [312] §7. Задача Неймана с однородным краевым условием [317] §8. Задача Неймана с неоднородным краевым условием [321] §9. Эллиптические уравнения высших порядков; системы уравнений [324] §10. Задача Дирихле для бесконечной области [327] Глава 18. Спектр задач Дирихле и Неймана [329] §1. Об одной теореме вложения [329] §2. Спектр задачи Дирихле для конечной области [330] §3. Элементарные случаи [331] §4. Оценка роста собственных чисел [333] §5. Спектр задачи Неймана для конечной области [336] §6. О несамосопряженных уравнениях [337] §7. Задачи Дирихле и Неймана для несамосопряжедного эллиптического уравнения [340] Глава 19. Сильные решения [342] §1. Решение уравнения Лапласа для параллелепипеда [342] §2. Умножение слабого решения на гладкую функцию [345] §3. Сильные решения в произвольной области [346] §4. Неоднородные краевые условия [351] §5. Случай достаточно гладкой границы [352] Глава 20. Уравнение теплопроводности [354] §1. Уравнение теплопроводности и его характеристики [354] §2. Принцип максимума [356] §3. Задача Коши и смешанная задача [358] §4. Теоремы единственности [358] §5. Абстрактные функции вещественной переменной [360] §6. Слабое решение смешанной задачи [361] Глава 21. Волновое уравнение [363] §1. Понятие о волновом уравнении [363] §2. Смешанная задача и ее слабое решение [364] §3. Волновое уравнение с постоянными коэффициентами. Задача Коши. Характеристический конус [366] §4. Теорема единственности для задачи Коши. Область зависимости [367] §5. Явление распространения волн [369] Глава 22. Метод Фурье [371] §1. Метод Фурье для уравнения теплопроводности [371] §2. Обоснование метода Фурье [372] §3. О корректности смешанной задачи для уравнения теплопроводности [376] §4. О стабилизации решения [377] §5. О существовании классического решения [379] §6. Случай несамосопряженной эллиптической части [381] §7. Метод Фурье для волнового уравнения [385] §8. Обоснование метода для однородного уравнения [387] §9. Обоснование метода для однородных начальных условий [390] §10. Уравнение колебаний струны. Условия существования классического решения [392] Глава 23. Задача Коши для уравнения теплопроводности [394] §1. Формула Пуассона [394] §2. Другой вывод формулы Пуассона [397] §3. Обоснование формулы Пуассона [400] §4. Бесконечная скорость теплопередачи [404] Глава 24. Задача Коши для волнового уравнения [405] §1. Применение преобразования Фурье [405] §2. Применение сингулярного решения [407] §3. Случай нечетного числа координат. Обобщенная формула Кирхгофа [410] §4. Задний фронт волны [413] §5. Обоснование формулы Кирхгофа [414] §6. Случай четного числа координат [417] §7. Уравнение колебаний струны [419] §8. О корректности задачи Коши [420] Литература [421] Алфавитный указатель [423]
Формат:	djvu + ocr
Размер:	51389340 байт
Язык:	РУС
Рейтинг:	120


Открыть:	Ссылка (RU)