Курс математической физики

Автор(ы):Михлин С. Г.
01.12.2024
Год изд.:1968
Описание: «… Предлагаемый вниманию читателей курс представляет собой несколько расширенное изложение лекций по математической физике, которые я читал студентам-математикам Ленинградского университета в течение последних лет. Как обычно, курс содержит только теорию линейных уравнений в частных производных, почти исключительно второго порядка. Естественным образом основное место в книге занимают наиболее разработанные и наиболее важные для приложений три классических типа уравнений: эллиптические, параболические и гиперболические…»
Оглавление:
Курс математической физики — обложка книги. Обложка книги.
Предисловие [9]
Введение [12]
Раздел I. Средние функции и обобщенные производные [17]
  Глава 1. Средние функции [17]
    §1. Усредняющее ядро [17]
    §2. Средние функции [19]
    §3. Сходимость средних функций [21]
    Упражнения [24]
  Глава 2. Обобщенные производные [25]
    §1. Понятие обобщенной производной [25]
    §2. Простейшие свойства обобщенной производной [31]
    §3. Предельные свойства обобщенных производных [33]
    §4. Случай одной независимой переменной [34]
    §5. Соболевские пространства и теоремы вложения [36]
    Упражнения [37]
Раздел II. Элементы вариационного исчисления [39]
  Глава 3. Основные понятия [39]
    §1. Примеры на экстремум функционала [39]
    §2. Постановка задачи вариационного исчисления [41]
    §3. Вариация и градиент функционала [44]
    §4. Уравнение Эйлера [52]
    §5. Вторая вариация. Достаточное условие экстремума [56]
    §6. Изопериметрическая задача [57]
    §7. Минимизирующая последовательность [63]
    Упражнения [64]
  Глава 4. Функционалы, зависящие от числовых функций вещественных переменных [66]
    §1. Простейшая задача вариационного исчисления [66]
    §2. Исследование второй вариации [69]
    §3. Случай многих независимых переменных [72]
    §4. Функционалы, зависящие от производных высших порядков [75]
    §5. Функционалы, зависящие от нескольких функций [78]
    §6. Естественные краевые условия [80]
  Глава 5. Минимум квадратичного функционала [89]
    §1. Понятие о квадратичном функционале [89]
    §2. Положительно определенные операторы [91]
    §3. Энергетическое пространство [97]
    §4. Задача о минимуме квадратичного функционала [106]
    §5. Обобщенное решение [109]
    §6. О сепарабельности энергетического пространства [112]
    §7. Расширение положительно определенного оператора [115]
    §8. Простейшая краевая задача для обыкновенного линейного дифференциального уравнения [120]
    §9. Более общая задача о минимуме квадратичного функционала [126]
    §10. Случай только положительного оператора [130]
    Упражнения [130]
  Глава 6. Собственный спектр положительно определенного оператора [132]
    §1. Понятие о собственном спектре оператора [132]
    §2. Собственные числа и собственные элементы симметричного оператора [134]
    §3. Обобщенный собственный спектр положительно определенного оператора [135]
    §4. Вариационная формулировка задачи о собственном спектре [138]
    §5. Теорема о наименьшем собственном числе [141]
    §6. Теорема о дискретности спектра [144]
    §7. Задача Штурма - Лиувилля [148]
    §8. Элементарные случаи [154]
    §9. Минимаксимальный принцип [155]
    §10. О росте собственных чисел задачи Штурма - Лиувилля [158]
    Упражнения [160]
Раздел III. Элементы теории интегральных уравнений [161]
  Глава 7. Вполне непрерывные операторы [161]
    §1. Необходимые сведения из функционального анализа [161]
    §2. Оператор Фредгольма [163]
    §3. Интегральный оператор со слабой особенностью [166]
    §4. Операторы со слабой особенностью в пространстве непрерывных функций [170]
    Упражнения [173]
  Глава 8. Теория Фредгольма [174]
    §1. Уравнения с в.н.о. Интегральные уравнения [174]
    §2. Сведение к конечномерному уравнению. Доказательство первой и второй теорем Фредгольма [177]
    §3. Доказательство третьей теоремы Фредгольма [180]
    §4. Доказательство четвертой теоремы Фредгольма [182]
    §5. Альтернатива Фредгольма [185]
    §6. О непрерывности решений уравнения со слабой особенностью [187]
Раздел IV. Общие сведения об уравнениях в частных производных [190]
  Глава 9. Уравнения и краевые задачи [190]
    §1. Дифференциальное выражение и дифференциальное уравнение [190]
    §2. Классификация уравнений второго порядка [192]
    §3. Краевые условия и краевые задачи [196]
    §4. Задача Коши [200]
    §5. Проблемы существования, единственности и корректности для краевой задачи [202]
  Глава 10. Характеристики. Канонический вид. Формулы Грина [207]
    §1. Преобразование независимых переменных [207]
    §2. Характеристики. Соотношение между данными Коши на характеристике [209]
    §3. Приведение уравнений второго порядка к каноническому виду [212]
    §4. Случай двух независимых переменных [213]
    §5. Формально сопряженные дифференциальные выражения [216]
    §6. Формулы Грина [217]
Раздел V. Уравнения эллиптического типа. [222]
  Глава 11. Уравнение Лапласа и гармонические функции [222]
    §1. Основные понятия [222]
    §2. Сингулярное решение уравнения Лапласа [225]
    §3. Интегральное представление функций класса С(2) [226]
    §4. Интегральное представление гармонической функции [229]
    §5. Понятие о потенциалах [231]
    §6. Свойства объемного потенциала [234]
    §7. Теорема о среднем [241]
    §8. Принцип максимума [245]
    §9.0 сходимости последовательностей гармонических функций [247]
    §10. Распространение на уравнения с переменными коэффициентами [251]
  Глава 12. Задачи Дирихле и Неймана [259]
    §1. Постановка задач [259]
    §2. Теоремы единственности для уравнения Лапласа [261]
    §3. Решение задачи Дирихле для шара [265]
    §4. Теорема Лиувилля [272]
    §5. Задача Дирихле для внешности сферы [273]
    §6. Производные гармонической функции на бесконечности [274]
    §7. Теорема единственности для внешней задачи Неймана [275]
  Глава 13. Элементарные решения задач Дирихле и Неймана [278]
    §1. Задачи Дирихле и Неймана для круга [278]
    §2. Задача Дирихле для кругового кольца [283]
    §3. Применение конформного преобразования [284]
    §4. Сферические функции и их свойства [288]
    §5. Задачи Дирихле и Неймана, решаемые с помощью сферических функций [291]
    Упражнения [295]
  Глава 14. Вариационный метод в задаче Дирихле. Другие положительно определенные задачи [296]
    §1. Неравенство Фридрихса [296]
    §2. Оператор задачи Дирихле [298]
    §3. Энергетическое пространство задачи Дирихле [302]
    §4. Обобщенное решение задачи Дирихле [306]
    §5. Задача Дирихле для однородного уравнения [308]
    §6. О существовании вторых производных решения задачи Дирихле [311]
    §7. Эллиптические уравнения высших порядков и системы уравнений [313]
    §8. Задача Дирихле для бесконечной области [317]
    Упражнения [320]
  Глава 15. Спектр задачи Дирихле [321]
    §1. Интегральное представление функции, равной нулю на границе конечной области [321]
    §2. Спектр задачи Дирихле для конечной области [323]
    §3. Элементарные случаи [324]
    §4. Оценка роста собственных чисел [328]
  Глава 16. Задача Неймана [333]
    §1. Случай положительного С(х) [333]
    §2. Случай С(х) = 0 [335]
    §3. Интегральное представление С.Л. Соболева [337]
    §4. Исследование оператора A0 [340]
    §5. Обобщенное решение задачи Неймана [344]
    Упражнения [346]
  Глава 17. Несамосопряженные эллиптические уравнения. [347]
    §1. Обобщенное решение [347]
    §2. Теоремы Фредгольма [349]
  Глава 18. Метод потенциалов для однородного уравнения Лапласа [353]
    §1. Поверхности Ляпунова [354]
    §2. Телесный угол [359]
    §3. Потенциал двойного слоя и его прямое значение [365]
    §4. Интеграл Гаусса [367]
    §5. Предельные значения потенциала двойного слоя [370]
    §6. Непрерывность потенциала простого слоя [374]
    §7. Нормальная производная потенциала простого слоя [377]
    §8. Сведение задач Дирихле и Неймана к интегральным уравнениям [382]
    §9. Задачи Дирихле и Неймана в полупространстве [384]
    §10. Исследование первой пары сопряженных уравнений [386]
    §11. Исследование второй пары сопряженных уравнений [388]
    §12. Решение внешней задачи Дирихле [391]
    §13. Случай двух независимых переменных [394]
    §14. Уравнения теории потенциала для круга [400]
  Глава 19. Задача о косой производной [403]
    §1. Постановка задачи [403]
    §2. Оператор Гильберта [405]
    §3. Уравнения с оператором Гильберта [410]
    §4. Число решений и индекс задачи о косой производной на двумерной плоскости [418]
Раздел VI. Нестационарные уравнения [421]
  Глава 20. Уравнение теплопроводности [422]
    §1. Уравнение теплопроводности и его характеристики [422]
    §2. Принцип максимума [424]
    §3. Задача Коши и смешанная задача [427]
    §4. Теоремы единственности [429]
    §5. Абстрактные функции вещественной переменной [431]
    §6. Обобщенное решение смешанной задачи [432]
  Глава 21. Волновое уравнение [436]
    §1. Понятие о волновом уравнении [436]
    §2. Смешанная задача и ее обобщенное решение [437]
    §3. Волновое уравнение с постоянными коэффициентами. Задача Коши. Характеристический конус [441]
    §4. Теорема единственности для задачи Коши. Область зависимости [442]
    §5. Явление распространения волн [445]
    §6. Обобщенное решение задачи Коши [447]
  Глава 22. Метод Фурье [451]
    §1. Метод Фурье для уравнения теплопроводности [451]
    §2. Обоснование метода [453]
    §3. О существовании классического решения. Частный случай [457]
    §4. Метод Фурье для волнового уравнения [459]
    §5. Обоснование метода для однородного уравнения [462]
    §6. Обоснование метода для однородных начальных условий [466]
    §7. Уравнение колебаний струны. Условия существования классического решения [468]
  Глава 23. Задача Коши для уравнения теплопроводности [472]
    §1. Некоторые, свойства преобразования Фурье [472]
    §2. Вывод формулы Пуассона [477]
    §3. Обоснование формулы Пуассона [481]
    §4. Бесконечная скорость теплопередачи [485]
  Глава 24. Задача Коши для волнового уравнения [486]
    §1. Применение преобразования Фурье [486]
    §2. Преобразование решения [489]
    §3. Случай трехмерного пространства [493]
    §4. Обоснование формулы Кирхгофа [495]
    §5. Задний фронт волны [498]
    §6. Случай m = 2 [уравнение колебаний мембраны) [500]
    §7. Уравнение колебаний струны [501]
    §8. Волновое уравнение с переменными коэффициентами [503]
Раздел VII. Корректные и некорректные задачи [507]
  Глава 25. О корректности задач математической физики. [507]
    §1. Основная теорема [507]
    §2. Положительно определенные задачи [509]
    §3. Задача Дирихле для однородного уравнения Лапласа. [510]
    §4. Внешняя задача Неймана [511]
    §5. Внутренняя задача Неймана [514]
    §6. Задачи теплопроводности [517]
    §7. Задачи для волнового уравнения [519]
    §8. О некорректности задач математической физики [521]
Добавления [524]
  Добавление 1. Эллиптические системы [524]
  Добавление 2. О задаче Коши для гиперболических уравнений. В.М. Бабич [532]
  Добавление 3. Некоторые вопросы теории общих дифференциальных операторов. В.Г. Мазья [545]
  Добавление 4. Нелинейные эллиптические уравнения второго порядка. И.Я. Бакельман [555]
Литература. [569]
Предметный указатель [574]
Формат: djvu + ocr
Размер:54416581 байт
Язык:РУС
Рейтинг: 158 Рейтинг
Открыть: Ссылка (RU)