Главная → Книги → Математика → Матанализ

Автор(ы):	Стефан Банах 11.09.2009
Год изд.:	1966
Издание:	2
Описание:	Стефан Банах - один из крупнейших математиков XX столетия. Настоящая книга была им задумана как пособие для первоначального ознакомления с предметом. Между тем автору удалось в книге небольшого объема мастерски осветить почти весь основной материал дифференциального и интегрального исчисления, не отпугивая при этом читателя скрупулезной строгостью изложения. Книга отличается простотой и лаконичностью изложения. Она содержит много удачно подобранных примеров, а также задач для самостоятельного решения. Рассчитана на студентов втузов (особенно заочных), пединститутов, а также на инженерно-технических работников, которые пожелают освежить в памяти основные факты дифференциального и интегрального исчисления. При подготовке второго издания учтен опыт преподавания по этой книге в некоторых высших технических учебных заведениях; в связи с этим в книгу внесено небольшое число добавлений, а также исправлены некоторые места текста. Это приблизило книгу к уровню современных учебников по математическому анализу и сделало возможным использование ее во втузах.
Оглавление:	От редактора перевода [14] Предисловие автора [14] Введение [15] ТОМ ПЕРВЫЙ ГЛАВА I. ТЕОРИЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ   ПОНЯТИЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ     1. Определение последовательности [17]     2. Монотонные последовательности [19]     3. Ограниченные последовательности [19]     4. Действия над последовательностями [20]       Задачи [20]   ИНТУИТИВНОЕ ПОНЯТИЕ ПРЕДЕЛА ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ     5. Предел монотонной последовательности [21]     6. Общее определение предела последовательности [21]     7. Частный признак сходимости [22]     8. Действия над сходящимися последовательностями [23]     9. Последовательности, расходящиеся к±(?) [23]     10. Теоремы о последовательностях, расходящихся к±(?) [24]       Задачи [24]   СТРОГОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРЕДЕЛА ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ     11. Отрезки последовательности [25]     12. Последовательности, отличающиеся лишь порядком членов [25]     13. Понятие приближения [26]     14. Определение предела [27]       Задачи [30]   ТЕОРЕМЫ О ПРЕДЕЛАХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ     15. Сходимость последовательностей с равными членами [30]     16. Независимость предела от порядка членов [30]     17. Сходимость подпоследовательностей [31]     18. Предел последовательности с неотрицательными членами [32]     19. Предел суммы и разности последовательностей [32]     20. Предел произведения последовательностей [34]     21. Предел произведения последовательности на число [35]     22. Предел частного двух последовательностей [35]     22а. Предельный переход в неравенстве [37]       Задачи [37]   ПРИЗНАКИ СХОДИМОСТИ     23. Сходимость монотонных ограниченных последовательностей [37]     24. Условие Коши [38]     25. Ограниченность сходящихся последовательностей [39]     26. Теорема о пределе промежуточной переменной [39]       Задачи [40]   ВЫЧИСЛЕНИЕ НЕКОТОРЫХ ПРЕДЕЛОВ. ЧИСЛО e     27. Вычисление некоторых пределов [42]     28. Число е = 2,71828 [43] ГЛАВА II. ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ     1. Примеры функций. Понятие функции [48]     2. Обозначения [49]     3. Точное определение понятия функции [49]     4. Различные способы задания функций [49]     5. Способы представления функций. Таблицы [50]     6. Графики [51]       Задачи [52]     7. Ограниченные функции. Монотонные функции [52] ГЛАВA III. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ   ОПРЕДЕЛЕНИЕ И СВОЙСТВА ПРЕДЕЛОВ     1. Определение предела функции [53]     2. Условие существования предела [54]     2а. Теоремы о пределах функций [58]     3. Действия над пределами [59]   ОДНОСТОРОННИЕ И НЕСОБСТВЕННЫЕ ПРЕДЕЛЫ. ВЫЧИСЛЕНИЕ НЕКОТОРЫХ ПРЕДЕЛОВ     4. Односторонний предел [60]     5. Несобственные пределы [62]     6. Вычисление некоторых пределов [64]       Задачи [68] ГЛАВА IV. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ   ОПРЕДЕЛЕНИЕ И СВОЙСТВА НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ     1. Определение [69]     2. Необходимое и достаточное условие непрерывности функции [70]     3. Геометрическая интерпретация [70]     4. Теорема о сохранении знака для непрерывной функции [71]     5. Действия над непрерывными функциями [71]   РАВНОМЕРНАЯ НЕПРЕРЫВНОСТЬ     6. Определение [71]     7. Геометрическая интерпретация [71]     8. Непрерывность равномерно непрерывной функции [72]       Задачи [74]     9. Основные теоремы о функциях, непрерывных в замкнутом интервале [74]   СЛОЖНЫЕ ФУНКЦИИ     10. Определение [75]     11. Непрерывность сложной функции [76]   ОБРАТНЫЕ ФУНКЦИИ     12. Определение [77]     13. Геометрическая интерпретация [77]     14. Непрерывность обратной функции [77]   НЕПРЕРЫВНОСТЬ И ГРАФИКИ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ     15. Степенная функция у = хn [78]     16. Показательная функция у = ах [80]     17. Логарифмическая функция y=logax [80]     18. Тригонометрические функции [81]     19. Обратные тригонометрические функции [82] ГЛАВА V. ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ   ОПРЕДЕЛЕНИЕ И СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ     1. Определение производной [86]     2. Односторонние производные [88]     3. Существование производной и непрерывность [88]     4. Производная как функция [88]     5. Интерпретация производной в геометрии и физике [89]     6. Непрерывные функции, не имеющие производной в данной точке (примеры) [90]   ТЕОРЕМЫ О ПРОИЗВОДНОЙ     7. Производная постоянной функции [91]     8. Производная степенной функции [91]     9. Производная произведения постоянной на функцию [92]     10. Производная суммы, произведения, частного [93]       Задачи [95]     11. Производная сложной функции [96]     12. Производная обратной функции [96]   ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ     13. Дифференцируемые функции. Определение дифференциала [98]     13а. Производная сложной функции [99]     14. Инвариантность формы первого дифференциала [100]     15. Дифференциал суммы, произведения и частного [101]     16. Геометрическая интерпретация дифференциала [102]   ПРОИЗВОДНЫЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ     17. Производная степенной функции [103]       Задачи [105]     18. Производная логарифмической функции [105]       Задачи [107]     19. Производная показательной функции [107]       Задачи [108]     20. Производные тригонометрических функций [108]       Задачи [110]     21. Производные обратных тригонометрических функций [110]       Задачи [113]     22. Логарифмическая производная [113]       Задачи [114]   ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ     23. Производные высших порядков [114]       Задачи [116]     24. Формула Лейбница [116]       Задачи [118]     25. Параметрическое представление функции [118]       Задачи [120]     26. Дифференциалы высших порядков [121]       Задачи [124] ГЛАВА VI. ТЕОРЕМА РОЛЛЯ. ТЕОРЕМА О СРЕДНЕМ ЗНАЧЕНИИ. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА     1. Теорема о среднем значении [127]     2. Теорема Ролля [128]     3. Доказательство теоремы Ролля [129]     4. Доказательство теоремы о среднем значении [129]     5. Следствия из теоремы о среднем значении [130]     6. Формула Тейлора [131]     7. Доказательство формулы Тейлора [132]       Задачи [135]     8. Выпуклость [136] ГЛАВА VII. МАКСИМУМЫ И МИНИМУМЫ; ТОЧКИ ПЕРЕГИБА. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ   ЭКСТРЕМУМ. ТОЧКИ ПЕРЕГИБА     1. Определение экстремума [138]     2. Необходимое условие существования экстремума [139]     3. Достаточные условия существования экстремума [141]     4. Более общее достаточное условие [143]     5. Точки перегиба [145]     6. Экстремумы функций, заданных параметрически [147]       Задачи [149]   НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ (РАСКРЫТИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ)     7. Неопределенности вида (?), (?) [149]     8. Неопределенности вида (?), (?), (?), (?), (?) [153]       Задачи [154] ГЛАВА VIII. РЯДЫ   РЯДЫ С ПОСТОЯННЫМИ ЧЛЕНАМИ     1. Определение ряда. Сходящиеся ряды [155]     2. Предел сходящейся последовательности как сумма ряда [156]     3. Необходимое условие сходимости [157]     4. Ограниченные ряды [158]     5. Абсолютно сходящиеся ряды [160]     6. Независимость суммы ряда от порядка членов [161]     7. Условно сходящиеся ряды [162]     8. Необходимое и достаточное условие сходимости ряда. Теорема Лейбница [163]   ПРИЗНАКИ СХОДИМОСТИ     9. Сравнение рядов [164]     9а. Признак сравнения в предельной форме [166]     10. Признак Коши [167]     11. Признак Даламбера [169]   ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ ФУНКЦИЙ     12. Определение сходимости функциональной последовательности [171]     13. Равномерная сходимость [172]     14. Действия над равномерно сходящимися функциональными последовательностями. Необходимое и достаточное условие равномерной сходимости [173]     15. Достаточное условие непрерывности предельной функции [175]     16. Равномерная сходимость рядов [176]     17. Абсолютная и равномерная сходимость функциональных рядов [177]     18. Дифференцирование последовательностей и рядов [178]     19. Степенные ряды [180]     20. Радиус сходимости степенного ряда [181]     21. Непрерывность суммы степенного ряда [181]     22. Вычисление радиуса сходимости [182]     23. Дифференцирование степенных рядов [182]     24. Ряд Тейлора [184]       Задачи [188] ГЛАВА IX. ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ   ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ     1. Плоские множества. Области [190]     2. Граничные точки. Замкнутые области [190]     3. Области, задаваемые неравенствами [191]       Задачи [191]     4. Функции двух переменных [192]     5. Геометрическая интерпретация функции двух переменных [192]     6. Линии уровня [193]       Задачи [194]   ПРЕДЕЛ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ     7. Определение предела [194]     8. Теоремы о пределах [195]     9. Непрерывность. Равномерная непрерывность [196]   ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ     10. Определение частных производных [197]     11. Частные производные второго порядка [198]     12. Теорема об изменении порядка дифференцирования [199]       Задачи [200]     13. Частные производные высших порядков [200]     14. Сложная функция [201]     15. Частные производные сложных функций [201]       Задачи [203]   НЕЯВНЫЕ ФУНКЦИИ     16. Определение неявной функции [203]     17. Теорема существования неявной функции [204]     18 Производная неявной функции [205]     19. Максимумы и минимумы неявных функций [207]       Задачи [208] ГЛАВА X. ФОРМУЛА И РЯД ТЕЙЛОРА. МАКСИМУМЫ И МИНИМУМЫ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ФУНКЦИЙ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ   ФОРМУЛА И РЯД ТЕЙЛОРА ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ     1. Формула Тейлора [210]     2. Ряды Тейлора и Маклорена [212]   МАКСИМУМЫ И МИНИМУМЫ ФУНКЦИЙ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ     3. Определение экстремума [213]     4. Необходимые условия существования экстремума [214]     5. Достаточное условие существования экстремума [214]       Задачи [218]   ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ     6. Дифференцируемые функции двух переменных. Определение дифференциала [218]     7. Дифференциал сложной функции [220]     8. Применение к функциям одной переменной [220]     9. Случай, когда одна из переменных является функцией другой [221]     10. Частные дифференциалы [221]     11. Касательная плоскость к поверхности. Геометрический смысл полного дифференциала [222]       Задачи [223]     12. Дифференциалы высших порядков [224]       Задачи [225] ГЛАВА XI. ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ     1. Области [226]     2. Функции многих переменных [227]     3 Предел. Непрерывность [227]     4. Частные производные [227]     5. Формула и ряд Тейлора [228] ТОМ ВТОРОЙ. ГЛАВА XII. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ     1. Первообразная функция [230]     2. Основные формулы [231]     3. Некоторые свойства неопределенного интеграла [232]     4. Интегрирование подстановкой [233]     5. Интегрирование по частям [236]     6. Интегралы от элементарных функций [237]     7. Формулы приведения [240]       Задачи [242] ГЛАВА XIII. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ     1. Разложение многочлена на множители [245]     2. Разложение рациональной функции на элементарные (простейшие) дроби [246]     3. Интегралы от рациональных функций [251]       Задачи [252] ГЛАВА XIV. ИНТЕГРИРОВАНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ     1. Интегрирование простейших иррациональностей [254]     2. Биномиальные интегралы [255]     3. Интегрирование рациональных функций R(x, у) [256]     4. Некоторые частные случаи интегралов от рациональной функции R (x, y) (формула) [259]     5. Замечания о преобразовании интеграла R (x, у) dx [266]       Задачи [270] ГЛАВА XV. ИНТЕГРИРОВАНИЕ НЕКОТОРЫХ НЕАЛГЕБРАИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ     1. Общие замечания [272]     2. Интегралы от показательных и логарифмических функций [273]     3. Интегрирование тригонометрических функций [276]     4. Интегралы от обратных тригонометрических функций [281]     5. Примеры функции, не интегрируемых элементарно [283]       Задачи [284] ГЛАВА XVI. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ     1. Определение определенного интеграла [286]     2. Некоторые свойства определенных интегралов [291]     3. Интегрируемость непрерывной функции [293]     4. Достаточные условия интегрируемости [296]     5. Разбиение интервала интегрирования [297]     6. Пределы интегрирования [298]     7. Некоторые неравенства для определенных интегралов [299]     8. Функция верхнего (нижнего) предела интеграла [303]     9. Определенный интеграл и первообразная функция [305]     10. Интегральная теорема о среднем для непрерывных функций [309]       Задачи [311] ГЛАВА XVII. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И РЯДОВ     1. Замена переменных в определенных интегралах [314]       Задачи [317]     2. Интегрирование по частям [317]     3. Интегрирование последовательностей и рядов [319]     4. Интегрирование степенных рядов [322]     5. Интегрирование и дифференцирование по параметру [325]       Задачи [330] ГЛАВА XVIII. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ     1. Интеграл неограниченной функции [332]     2. Интегралы в бесконечном интервале [333]     3. Признаки существования несобственного интеграла [335]     4. Применение к рядам [339]     5. Равномерно сходящиеся несобственные интегралы [342]       Задачи [350] ГЛАВА XIX. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ     1. Вычисление площади [352]       Задачи [353]     2. Вычисление длины дуги [354]       Задачи [358]     3. Объем тела вращения [359]       Задачи [360]     4. Площадь поверхности вращения [361]       Задачи [364] ГЛАВА XX. ДВОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ. УСЛОВИЯ ИНТЕГРИРУЕМОСТИ     1. Определение двойного интеграла по прямоугольнику [365]     2. Достаточные условия интегрируемости [368]     3. Двойной интеграл как повторный [369]     3а. Некоторые свойства двойных интегоалов по прямоугольнику [372]     4. Двойной интеграл по области [374]     5. Свойства двойного интеграла по области [377]     5а. Неравенства для двойных интегралов. Теорема о среднем [377]     6. Двойной интеграл по области как повторный [379]       Задачи [385] ГЛАВА XXI. КРИВОЛИНЕЙНЫЙ ИНТЕГРАЛ     1. Простая дуга [387]     2. Криволинейный интеграл по простой дуге [388]     3. Криволинейный интеграл по произвольной кривой [392]     4. Работа как криволинейный интеграл [394]     5. Замкнутая кривая [396]     6. Криволинейный интеграл по замкнутой кривой [398]     7. Криволинейные интегралы по замкнутым плоским кривым [399]     8. Теорема (формула) Грина [400]     9. Применения теоремы Грина [402] ГЛАВА XXII. НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ. ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В ДВОЙНЫХ ИНТЕГРАЛАХ     1. Отображения [409]     2. Непрерывные отображения. Взаимнооднозначные отображения [410]     3. Функциональный определитель (якобиан) [411]       Задачи [416]     4. Замена переменных в двойных интегралах [416]       Задачи [422] ГЛАВА XXIII. МНОГОКРАТНЫЙ ИНТЕГРАЛ     1. Тройной интеграл [424]     2. Многократный интеграл [425]     3. Условия интегрируемости [426]     4. Многократный интеграл как повторный [426]     5. Многократный интеграл по области [427]     6. Многократный интеграл по области как повторный [428]       Задачи [430] Предметный указатель [431]
Формат:	djvu
Размер:	7891667 байт
Язык:	РУС
Рейтинг:	240

Открыть:	Ссылка (RU)