Введение в теорию нелинейных колебаний, изд. 2

Автор(ы):Киселев О. М.
06.10.2007
Год изд.:2004
Издание:2
Описание: Это учебное пособие написано по курсу лекций, прочитанному во время весеннего семестра 1999 года студентам Уфимского Государственного Авиационного Технического Университета, специализирующимся по прикладной математике. Основная цель - познакомить с методами исследования обыкновенных нелинейных уравнений. Изложение материала по возможности индуктивно, от простого к сложному, и основано исключительно на примерах. Часто глубокие и громоздкие математические теории возникают при обобщениях решений одной или нескольких хорошо изученных и понятых задач. Подробный анализ решений этих задач представляется намного более важным при изучении некоторых разделов математики, чем формулировки и доказательства десятков теорем. Большинство разобранных задач взято из механики, начиная с гармонического осциллятора и заканчивая волчком Ковалевской. Несколько лекций в начале курса базируется на Ньютоновской механике, в остальных будет делаться крен в сторону Гамильтонова подхода к механическим системам. Большая часть лекций посвящена качественному анализу уравнений, исследованию решений в терминах эллиптических функций и теории возмущений.
Оглавление:
Введение в теорию нелинейных колебаний — обложка книги. Обложка книги.
1 Линейные системы [7]
  1.1 Гармонический осциллятор [7]
    1.1.1 Сведение к уравнению первого порядка [7]
    1.1.2 Анализ эквивалентности уравнений (1) и (2) [8]
    1.1.3 Фазовый портрет [9]
    1.1.4 Решение уравнения (2) [10]
  1.2 Гармонический осциллятор с отталкивающей силой [12]
  1.3 Вынужденные колебания. Резонанс. Малые знаменатели [14]
  1.4 Литература [15]
2 Уравнение Штурма-Лиувилля с периодическим коэффициентом [16]
  2.1 Свойства уравнений с периодическими коэффициентами [16]
  2.2 Функция Блоха и параметрический резонанс [17]
  2.3 Пример [18]
  2.4 Литература [20]
3 Математический маятник [21]
  3.1 Вывод уравнения математического маятника [21]
  3.2 Фазовые траектории [21]
  3.3 Явная формула для решения и период колебаний [23]
  3.4 Колебания малой амплитуды [25]
  3.5 Сепаратрисное решение [26]
  3.6 Литература [26]
4 Эллиптические функции [27]
  4.1 Решение уравнения математического маятника и функция синус амплитуды [27]
  4.2 Эллиптические функции Якоби [28]
  4.3 Свойства Функций Якоби [29]
    4.3.1 Область значений [29]
    4.3.2 Область определения [29]
    4.3.3 Свойства четности [29]
    4.3.4 Монотонность [30]
    4.3.5 Сдвиг [30]
    4.3.6 Периодичность [31]
  4.4 Литература [33]
5 Аппроксимация функций Якоби [34]
  5.1 Разложение в окрестности нуля аргумента [34]
  5.2 Разложение в окрестности нулевого значения параметра [34]
  5.3 Разложение в окрестности k=1 [35]
  5.4 Литература [36]
6 Устойчивость решений нелинейных уравнений [37]
  6.1 Положения равновесия [37]
  6.2 Устойчивость по линейному приближению [38]
  6.3 Периодические решения консервативных систем и орбитальная устойчивость [39]
  6.4 Линеаризованное в окрестности периодического решения уравнение математического маятника [40]
  6.5 Неустойчивость сепаратрисного решения [43]
  6.6 Литература [45]
7 Элементы теории бифуркаций [46]
  7.1 Локальный анализ неограниченного движения [46]
  7.2 Окрестность точки равновесия [47]
  7.3 Бифуркация седло-центр [48]
  7.4 Бифуркация удвоения [49]
  7.5 Нелокальные бифуркации [51]
8 Принцип наименьшего действия [54]
  8.1 Генезис уравнений механики [54]
  8.2 Функция Лагранжа [55]
  8.3 Функция Гамильтона [56]
  8.4 Общий вид уравнений для консервативной системы [57]
  8.5 Фазовый поток и теорема Лиувилля [59]
  8.6 Терема Пуанкаре о возвращении [60]
9 Примеры вполне интегрируемых систем [62]
  9.1 Задача Кеплера [62]
    9.1.1 Инвариантное многообразие в задаче Кеплера [64]
  9.2 Волчок Эйлера [66]
  9.3 Волчок Ковалевской [67]
  9.4 Литература [69]
10 Теорема Лиувилля об интегрируемых системах [70]
  10.1 Скобки Пуассона [70]
  10.2 Коммутирующие фазовые потоки [72]
  10.3 Переменные действие-угол [72]
  10.4 Теорема Лиувилля об интегрируемых системах [74]
  10.5 Литература [75]
11 Теория возмущений [76]
  11.1 Прямое разложение теории возмущений [76]
  11.2 Аналитическая зависимость от параметра [78]
  11.3 Ограниченная пригодность прямого разложения теории возмущений, секулярные члены [80]
  11.4 Равномерное приближение Линдштедта [80]
  11.5 Литература [82]
12 КАМ-теорема [83]
  12.1 Нерезонансные колебания [83]
    12.1.1 Вынужденные колебания [83]
    12.1.2 Условно периодическое решение [84]
  12.2 Основная задача механики [86]
  12.3 Адиабатические инварианты [87]
  12.4 Формулировки теорем [87]
  12.5 Доказательство теоремы Арнольда [89]
    12.5.1 Решение линеаризованного уравнения [90]
  12.6 Метод быстро сходящихся итераций [92]
  12.7 Литература [93]
13 Резонансные возмущения. Теорема о неинтегрируемости [94]
  13.1 Резонанс в нелинейном уравнении [94]
  13.2 Резонансные множества [97]
  13.3 Отсутствие аналитических законов сохранения [98]
  13.4 Литература [102]
14 Авторезонанс [103]
  14.1 Уравнение главного резонанса [103]
    14.1.1 Линейный резонанс [103]
    14.1.2 Уравнение медленных колебаний амплитуды [104]
    14.1.3 Решения уравнения главного резонанса [104]
  14.2 Возмущение с медленно меняющимся сдвигом фазы [105]
    14.2.1 Неавтономное уравнение главного резонанса [105]
    14.2.2 Растущее асимптотическое решение [107]
    14.2.3 Устойчивость авторезонанса [108]
15 Метод малого параметра для решения с конечной амплитудой [110]
  15.1 Периодическое решение уравнения Дуффинга [110]
  15.2 Условие периодичности решения уравнения для первой поправки [111]
  15.3 Разложение по дробным степеням малого параметра [113]
  15.4 Литература [117]
16 Задачи к зачету [118]
17 Вопросы к зачету [120]
Формат: djvu
Размер:617845 байт
Язык:RUS
Рейтинг: 149 Рейтинг
Открыть: Ссылка (RU)