Методы математической физики. Т. 1

Автор(ы):	Курант Р., Гильберт Д. 06.10.2007
Год изд.:	1937
Описание:	В книге описаны алгебра линейных преобразований и квадратичных форм, задача о разложении в ряд произвольных функций, теория линейных интегральных уравнений, основные понятия вариационного исчисления, проблемы колебаний и задачи о собственных значениях в математической физике, применение вариационного исчисления к задачам о собственных значениях, а также специальные функции, к которым приводят задачи о собственных значениях.
Оглавление:	Обложка книги. ГЛАВА I. АЛГЕБРА ЛИНЕЙНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ и КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМ. § 1. Линейные уравнения и линейные преобразования [1] 1. Векторы [1] 2. Ортогональные системы векторов. Полнота системы [3] 3. Линейные преобразования, матрицы [5] 4. Билинейные формы, квадратичные и эрмитовы формы [10] 5. Ортогональные и унитарные преобразования [12] § 2. Линейные преобразования с линейным параметром [14] § 3. Преобразования к главным осям квадратичных и эрмитовых форм [20] 1. Проведение преобразования к главным осям на основании принципа максимума [20] 2. Характеристические числа и собственные значения [23] 3. Обобщение на эрмитовы формы [24] 4. Закон инерции квадратичных форм [25] 5. Выражение для резольвенты формы [26] 6. Решение системылинейных уравнений, соответствующей данной форме [27] § 4. Минимально - максимальное свойство собственных значений [28] 1. Определение характеристических чисел с помощью задачи о наименьшем значении максимума [28] 2. Применения [29] § 5. Дополнения и задачи к первой главе [31] 1. Линейная независимость и определитель Грама [31] 2. Теорема Адамара об оценке определителя [32] 3. Одновременное преобразование двух квадратичных форм к каноническому виду [33] 4. Билинейные и квадратичные формы от бесконечно большого числа переменных [35] 5. Бесконечно малые линейные преобразования [35] 6. Варьированные системы [36] 7. Наложение связи [38] 8. Элементарные делители матрицы или билинейной формы [39] 9. Спектр унитарной матрицы [39] Литература к гл. I [40] ГЛАВА II. ЗАДАЧА о РАЗЛОЖЕНИИ в РЯД ПРОИЗВОЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ. § 1. Ортогональные системы функций [42] 1. Определения [42] 2. Ортогонализация функций [43] 3. Неравенство Бесселя. Условие полноты системы. Аппроксимирование в среднем [44] 4. Ортогональные и унитарные преобразования бесконечно большого, числа переменных [48] 5. Справедливость результатов в случае нескольких независимых переменных. Расширение предпосылок [49] 6. Построение полных систем функций от многих переменных [49] § 2. Принцип предельных точек в функциональном простравстве [50] 1. Сходимость в функциональном пространстве [50] § 3. Мера независимости и число измерений [55] 1. Мера независимости [55] 2. Асимптотическое число измерений последовательности функций [56] § 4. Теорема Вейерштрасса об аппроксимировании. Полнота системы степеней и системы тригонометрических функций [55] 1. Теорема Вейерштрасса об аппроксимировании [58] 2. Распространение на функции от многих переменных [61] 3. Аппроксимирование производных [61] 4. Полнота системы тригонометрических функций [61] § 5. Ряды Фурье [62] 1. Доказательство основной теоремы [62] 2. Кратные ряды Фурье [66] 3. Порядок коэфициентов Фурье [67] 4. Растяжение основной области [67] Примеры [68] § 6. Интеграл Фурье [70] 1. Доказательство основной теоремы [70] 2. Распространение формулы на случай многих переменных [73] 3. Взаимно обратные формулы [74] § 7. Примеры на интеграл Фурье [75] 1. Интегральная формула Фурье [75] 2. Разрывный множитель Дирихле [75] § 8. Полиномы Лежандра [77] 1. Построение путем ортогонализации степеней 1, x, (?) [77] 2. Производящая функция [79] 3. Дальнейшие свойства [79] § 9. Примеры других ортогональных систем [80] 1. Обобщение постановки вопроса, приводящей к полиномам Лежандра [80] 2. Полиномы Чебышева [81] 3. Полиномы Якоби [83] 4. Полиномы Эрмита [84] 5. Полиномы Лагерра [86] 6. Полнота системы полиномов Лагерра и Эрмита [88] § 10. Дополнения и задачи ко второй главе [90] 1. Решение Гурвица для изопериметрической задачи [90] 2. Взаимно обратные формулы [91] 3. Интеграл Фурье и сходимость в среднем [91] 4. Спектральное разложение с помощью ряда Фурье и интеграла Фурье [92] 5. Плотные системы функций [93] 6. Теорема Г. Мюнца о полноте системы степеней [94] 7. Теорема Фейера [94] 8. Формулы обращения Мелина [95] 9. Явление Гиббса [98] 10. Теорема об определителе Грама [100] 11. Применение понятия интеграла Лебега [100] Литература к гл. II [103] ГЛАВА III. ТЕОРИЯ ЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ. § 1. Предварительные соображения [104] 1. Обозначения и основные понятия [104] 2. Истокообразно представленные функции [105] 3. Выродившиеся ядра [106] § 2. Теоремы Фредгольм а для выродившегося ядра [107] § 3. Теоремы Фредгольмадляпроизв&льного ядра [109] § 4. Симметрические ядра и их собственные значения [113] 1. Существование собственного значения у симметрического ядра [113] 2. Совокупность собственных функций и собственных значений [116] 3. Максимально-минимальное свойство собственных значений [122] § 5. Теорема о разложении и ее применения [124] 1. Теорема о разложении [124] 2. Решение неоднородного линейного интегрального уравнения [126] 3. Билинейная формула для итерированных ядер [127] 4. Теорема Мерсера [128] § 6. Ряд Неймана и разрешающее ядро [130] § 7. Формулы Фредгольма [132] § 8. Новое обоснование теории [136] 1. Лемма [136] 2. Собственные функция симметрического ядра [137] 3. Несимметрические ядра [138] 4. Непрерывная зависимость собственных значений и собственных функций от ядра [139] § 9. Расширение границ приложимости теории [140] § 10. Дополнения и задачи к третьей главе [142] 1. Примеры [142] 2. Особенные интегральные уравнения [142] 3. Метод Шмидта для вывода теорем Фредгольма [143] 4. Метод Энскога для решения симметрических интегральных уравнений [144] 5. Метод Келлога для определения собственных функций [145] 6. Символические функции ядра и их собственные значения [145] 7. Пример несимметрического ядра, не имеющего собственных функций [145] 8. Интегральные уравнения Вольтерры [146] 9. Интегральное уравнение Абеля [146] 10. Взаимно сопряженнце ортогональные системы, принадлежащие несимметрическому ядру [147] 11. Интегральные уравнения первого рода [147] 12. Метод бесконечно большого-числа переменных [148] 13. Минимальные свойства собственных функций [149] 14. Полярные интегральные уравнения [149] 15. Ядра, допускающие симметризацию [150] 16. Определение разрешающего ядра посредством функциональных уравнений [150] 17. Непрерывность определенных ядер [150] 18. Теорема Гамерштейна [150] Литература к гл. III [150] ГЛАВА IV. ОСНОВНЫЕ понятия ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ. § 1. Постановка задачи вариационного исчисления [152] 1. Maxima и minima функций [153] 2. Функционалы [155] 3. Типичные примеры задач вариационного исчисления [167] 4. Характерные трудности вариационного исчисления [161] § 2. Прямые методы [162] 1. Изопериметрическая задача [162] 2. Метод Ритца. Минимальные последовательности [163] 3. Дальнейшие прямые методы. Метод конечных приращений. Бесконечное число независимых переменных [165] 4. Соображения общего характера относительно прямых методов вариационного исчисления [171] § 3. Уравнения Эйлера [173] 1. Простейшая проблема вариационного исчисления [173] 2. Случай многих неизвестных функций [177] 3. Выражения, содержащие производные высших порядков [179] 4. Случай многих независимых переменных [180] 5. Тождественное обращение в нуль диференциального выражения Эйлера [182] 6. Однородная форма диференциальных уравнений Эйлера [186] 7. Вариационные проблемы с расширенными условиями допустимости. Теоремы Дюбуа-Реймона и Гаара [189] 8. Другие вариационные задачи и их функциональные уравнения [195] § 4. Замечания относительно интегрирЬвания дифереициального уравнения Эйлера. Примеры [196] § 5. Граничные условия [198] 1. Естественные граничные условия в задачах со свободной вариацией на границе [198] 2. Геометрические задачи. Трансверсальность [201] § 6. Вторая вариация и условие Лежандра [205] § 7. Вариационные задачи с дополнительными условиями [207] 1. Изопериметрические задачи [207] 2. Конечные дополнительные условия [210] 3. Диференциальные уравнения в качестве дополнительных условий [212] § 8. Инвариантный характер диференциальных уравнений Эйлера [213] 1. Выражение Эйлера как градиент в функциональном пространстве. Инвариантность выражения Эйлера [213] 2. Преобразования выражения (?). Полярные координаты [216] 3. Эллиптические координаты [217] § 9. Приведение вариационных задач к каноническому и инволюционному виду [222] 1. Преобразование обыкновенных задач минимума с добавочным условием [222] 2. Инволюционное преобразование простейшей вариационной задачи [224] 3. Приведение вариационной задачи к каноническому виду [229] 4. Обобщения [230] § 10. Вариационное исчисление и диференциаль-ные уравнения математической физики [233] 1. Общие соображения [233] 2. Колебания струны и стержня [235] 3. Мембрана и пластинка [237] § 11. Дополнения и задачи кчетвертой главе [243] 1. Вариационная задача, соответствующая заданному диференциальному уравнению [243] 2. Закон взаимности изопериметрических задач [243] 3. Световые лучи, имеющие форму Окружности [243] 4. Задача Дидоны [243] 5. Пример пространственной вариационной задачи [244] 6. Изопериметрическая задача на поверхности [244] 7. Индикатрисса и ее применения [244] 8. Вариация при переменной области интегрирования [246] 9. Теоремы Э. Нэтер относительно инвариантных вариационных проблем. Интегралы диференцяальных уравнений механики [248] 10. Трансверсальность для случая кратных интегралов [252] 11. Диференциальные выражения Эйлера на произвольной поверхности [252] 12. Принцип Томсона в электростатике [253] 13. Проблемы равновесия упругого тела. Принцип Кастильано [253] 14. Принцип Кастильано в теории балок [256] 15. Вариационная задача о продольном изгибе стержня [257] Литература к гл. IV [259] ГЛАВА V. ПРОБЛЕМЫ КОЛЕБАНИЙ и ЗАДАЧИ о СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЯХ В МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКЕ. § 1. Предварительные замечания о линейных диференциальных уравнениях [260] 1. Общие замечания. Принцип наложения [260] 2. Однородные и неоднородные задачи. Краевые условия [262] 3. Формальные соотношения. Сопряженные диференциальные выражения. Формулы Грина [262] 4. Линейные функциональные уравнения, как предельные случаи и аналоги систем линейных уравнений [265] § 2. Системы с конечным числом степеней свободы [266] 1. Собственные колебания. Нормальные координаты. Общая теория процесса [266] 2. Общие свойства колебательных систем [270] § 3. Колебания струны [271] 1. Свободные колебания однородной струны [271] 2. Вынужденные движения [274] 3. Общий случай неоднородной струны и задача Штурм-Лиувилля [275] § 4. Колебания стержня [279] § 5. Колебания мембраны [281] 1. Общая задача об однородной мембране [281] 2. Вынужденные движения [283] 3. Узловые линии [284] 4. Прямоугольная мембрана [284] 5. Круговая мембрана. Бесселевы функции [286] 6. Неоднородная мембрана [289] § 6. Колебания пластинки [290] 1. Общие соображения [290] 2. Круговая пластинка [290] § 7. Общие соображения о методе собственных функций [291] 1. Применение метода в задачах о колебаниях и в задачах о равновесии [291] 2. Задачи о собственных значениях в теории теплопроводности [294] 3. Другие вопросы, приводящие к задачам о собственных значениях [295] § 8. Колебания трехмерных континуумов [296] § 9. Краевые задачи теории потенциала и собетвенные функции [297] 1. Окружность, сфера, сферический слой [298] 2. Цилиндрическая область [301] 3. Задача Ламе [301] § 10. Задачи штурм-лиувиллевского типа. Особые краевые точки [306] 1. Бесселевы функции [306] 2. Функции Лежандра любого порядка [307] 3. Полиномы Якоби и Чебышева [309] 4. Полиномы Эрмита и Лагерра [310] § 11. Об асимптотическом поведении решений штурм-лиувиллевских диференциальных уравнений [312] 1. Ограниченность при бесконечном возрастании независимого переменного [312] 2. Уточнение результата (бесселевы функции) [313] 3. Ограниченность решений при возрастании параметра [315] 4. Асимптотическое выражение решений [316] 5. Асимптотическое выражение штурм-лиувиллевских фундаментальных функций [317] § 12. Краевые задачи с непрерывным спектром собственных значений [320] 1. Тригонометрические функции [321] 2. Бесселевы функции [321] 3. Задача о собственных значениях уравнения колебания для бесконечной плоскости [321] 4. Задача Шрёдингера о собственных значениях [322] § 13. Теория возмущений [324] 1. Простые собственные значения [324] 2. Кратные собственные значения [326] 3. Пример к теории возмущений [328] § 14. Функция Грина (функция влияния). Приведение задач с диференциальными уравнениями к интегральным уравнениям [330] 1. Функция Грина и краевая задача для обыкновенных диференциальных уравнений [330] 2. Построение функции Грина и обобщенная функция Грина [334] 3. Эквивалентность задачи с диференциальным уравнением задаче решения соответствующего интегрального уравнения [337] 4. Обыкновенные диференциальиые уравнения высшего порядка [341] 5. Диференциальные уравнения с частными производными [342] § 15. Примеры функции Грина [349] 1. Обыкновенные Диференциальные уравнения [349] 2. Функция Грина выражения (?) для круга и шара [354] 3. Функция Грина и конформное отображение [356] 4. Функция Грина уравнения потенциала для шаровой поверхности [356] 5. Функция Грина уравнения (формула) для прямоугольного параллелепипеда [357] 6. Функция Грина уравнения (формула) для внутренней области прямоугольника [362] 7. Функция Грина для кругового кольца [364] § 16. Дополнения к пятой главе [366] 1. Примеры на колебания струны [366] 2. Колебания свободно свисающего каната и бесселевы функции [368] 3. Дальнейшие примеры случаев колебательного уравнения, разрешимых в явном виде. Функции Матье [369] 4. Параметры в краевых условиях [370] 5. Тензоры Грина для систем диференциальных уравнений [371] 6. Аналитическое продолжение решения уравнения (формула) [372] 7. Теорема об узловых линиях решения уравнения (формула) [372] 8. Пример собственного значения бесконечно большой кратности [372] 9. Границы применимости теорем разложения [372] Литература к гл. V [373] Глава VI. ПРИМЕНЕНИЕ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ к ЗАДАЧАМ о СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЯХ. § 1. Экстремальные свойства собственных значений [375] 1. Классические экстремальные свойства [375] 2. Дополнения и обобщения [379] 3. Задачи о собственных значениях для областей, состоящих из отдельных несвязанных кусков [382] 4. Максимально-минимальное Свойство собственных значений [383] § 2. Общие следствия из экстремальных свойств собственных значений [384] 1. Общие теоремы [384] 2. Неограниченное возрастание собственных значений [390] 3. Асимптотическое поведение собственных значений для задачи Штурм-Лиувилля [392] 4. Диференциальные уравнения, имеющие особые точки [393] 5. Дальнейшие замечания относительно возрастания собственных значений. Случай, когда имеются отрицательные собственные значения [394] 6. Свойства непрерывности собственных значений [396] § 3. Теорема о полноте системы собственных функций и теоремао разложении [402] 1. Полнота системы собственных функций [402] 2. Теорема о разложении [404] 3. Обобщение теоремы о разложении [405] § 4. Асимптотическое распределение собственных значений [407] 1. Диференциальное уравнение (формула) для прямоугольника [407] 2. Диференциальное уравнение (формула) для областей, состоящих из конечного числа квадратов или кубов [409] 3. Распространение полученного результата на общее диференциальное уравнение (формула) [412] 4. Законы асимптотического распределения собственных значений для произвольной области [414] 5. Законы асимптотического распределения собственных значений диференциального уравнения (формула) в уточненной форме [421] § 5.3адачи о собственных значениях Шрёдингеровского типа [423] § б. Узлы собственных функций [429] § 7.Дополнения и задачи к шестой главе [434] 1. Вывод минимальных свойств собственных значений из их полноты [434] 2. Отсутствие нулей у первой собственной функции [436] 3. Другие минимальные свойства собственных значений [437] 4. Асимптотическое распределение собственных значений для случая колебания пластинки [438] 5 — 7. Задачи [438] 8. Задачи с граничными условиями, содержащими параметр (?) [438] 9. Задачи о собственных значениях для замкнутых поверхностей [439] 10. Оценка собственных значений в случае наличия особых точек [439] 11. Минимальное свойство круглой мембраны или пластинки [441] 12. Проблема минимума для случая неравномерного распределения масс [441] 13. Узловые точки для задачи Штурм-Лиувилля и принцип максимума минимумов [442] Литература к гл. VI 443. ГЛАВА VII. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ, к КОТОРЫМ ПРИВОДЯТ ЗАДАЧИ О СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЯХ. § 1. Предварительные замечания относительно линейных диференц иальных уравнений второго порядка [444] § 2. Функции Бесселя [445] 1. Интегральное преобразование [446] 2. Функции Ганкеля [447] 3. Бесселевы функции и функции Неймана [448] 4. Выражение бесселевых функций в виде интегралов [451] 5. Другое выражение функций Гайкеля и бесселевых функций в виде интегралов [454] 6. Разложение бесселевых функций в степенные ряды [460] 7. Соотношения между бесселевыми функциями [463] 8. Нули бесселевых функций [469] 9. Функции Неймана [473] § 3. Шаровые функции Лежандра [477] 1. Интеграл Шлёфли [477] 2. Интегральные выражения Лапласа [479] 3. Функции Лежандра второго рода [480] 4. Сопряженные шаровые функции (функции Лежандра высшего порядка) [481] § 4. Применение метода интегральных преобразований кдиференциальным уравнениям Лежандра, Чебышева, Эрмита и Лагерра [481] 1. Функции Лежандра [481] 2. Функции Чебышева [483] 3. Функции Эрмита [484] 4. Функции Лагерра [484] § 5. Шаровые функции Лапласа [485] 1. Нахождение 2n +1 шаровых функций n-го порядка [486] 2. Полнота полученной системы функций [487] 3. Теорема о разложении [488] 4. Интеграл Пуассона [488] 5. Выражение шаровых функций Максвелла - Сильвестра [489] § 6. Асимптотические разложения [496] 1. Формула Стирлинга [496] 2. Асимптотическое вычисление функций Ганкеля и Бесселя для больших значений аргумента [498] 3. Метод перевала [501] 4. Применение метода перевала к вычислению функций Ганкеля и Бесселя для больших значений параметра и больших значений аргумента [502] 5. Общие замечания по поводу метода перевала [606] 6. Метод Дарбу [506] 7. Применение метода Дарбу к асимптотическому разложению полиномов Лежандра [507] Примечания [509] Предметный указатель [519]
Формат:	djvu
Размер:	6014880 байт
Язык:	RUS
Рейтинг:	199


Открыть:	Ссылка (RU)