Численное моделирование стохастических дифференциальных уравнений и стохастических интегралов
| Автор(ы): | Кузнецов Д. Ф.
06.10.2007
|
| Год изд.: | 1999 |
| Описание: | Настоящая монография посвящена проблеме численного решения стохастических дифференциальных уравнений Ито. Основы теории численного решения стохастических дифференциальных уравнений были заложены в монографиях "Численное интегрирование стохастических дифференциальных уравнений", "Numerical Solution of Stochastic Differential Equations", "Numerical Solution of SDE Through Computer Experiments", которые обобщили известные результаты по данной проблеме, полученные в основном авторами этих книг в 70-90 годах. В данной книге, так же как и в перечисленных монографиях, используется подход к численному решению стохастических дифференциальных уравнений, который основан на конечной дискретизации временного интервала и численном моделировании решения стохастического дифференциального уравнения в дискретные моменты времени с помощью стохастических аналогов формулы Тейлора и специальных методов аппроксимации повторных стохастических интегралов. В рамках данного подхода в настоящей монографии предлагается ряд новых методов численного решения систем нелинейных и линейных стохастических дифференциальных уравнений. |
| Оглавление: |
Обложка книги.
1.1. О различных численных подходах, применяемых к стохастическим дифференциальным уравнениям [19] 1.2. Некоторые сведения из теории вероятностей [20] 1.2.1. Сходимость случайных последовательностей [20] 1.2.2. Некоторые неравенства для математических ожиданий [23] 1.2.3. Случайные процессы [25] 1.2.4. Случайные процессы с независимыми приращениями. Винеровский процесс [30] 1.3. Стохастические интегралы и стохастические дифференциальные уравнения [34] 1.3.1. Стохастический интеграл Ито [34] 1.3.2. Процессы Ито [40] 1.3.3. Формула Ито [42] 1.3.4. Стохастические дифференциальные уравнения Ито [44] 1.3.5. Стохастический интеграл Стратоновича [49] 1.3.6. Стохастические дифференциальные уравнения Стратоновича [55] 1.4. Математические модели динамических систем, находящихся под воздействием случайных возмущений [57] 1.4.1. Общий вид нелинейных моделей стохастической динамики [57] 1.4.2. Линейные модели стохастической динамики [61] 1.5. Примеры стохастических моделей физических и технических систем [67] 1.5.1. Стохастическая модель тепловых флуктуации частиц в веществах и электрических зарядов в проводниках. Формула Найквиста [67] 1.5.2. Автоколебательная электрическая система (ламповый генератор) [71] 1.5.3. Чандлеровские колебания [74] 1.5.4. Стохастические модели химической кинетики и модели регуляции численности конкурирующих видов [76] 1.5.5. Модели финансовой математики [78] 1.5.6. Солнечная активность [79] 1.5.7. Ошибки округления при численном решении обыкновенных дифференциальных уравнений [80] 1.6. Некоторые задачи, связанные со стохастическими дифференциальными уравнениями [81] 1.6.1. Фильтрация [81] 1.6.2. Оптимальное стохастическое управление [83] 1.6.3. О стохастической устойчивости [85] 1.6.4. Оценивание параметров [92] 1.7. О неэффективности применения численных методов для обыкновенных дифференциальных уравнений к стохастическим дифференциальным уравнениям [93] 2. Замена порядка интегрирования в повторных стохастических интегралах Ито [97] 2.1. Введение [97] 2.2. Замена порядка интегрирования в повторных стохастических интегралах Ито [100] 3. Стохастические разложения процессов Ито [113] 3.1. Введение [113] 3.2. Дифференцируемость по Ито случайных процессов [115] 3.3. Унифицированные разложения Тейлора-Ито [119] 3.3.1. Первая форма унифицированного разложения Тейлора-Ито [120] 3.3.2. Вторая форма унифицированного разложения Тейлора-Ито [129] 3.4. Разложение Тейлора-Ито в форме Вагнера и Платена. Сравнение с унифицированными разложениями Тейлора-Ито [132] 3.5. Дифференцируемость по Стратоновичу случайных процессов [137] 3.6. Разложение Тейлора-Стратоновича [141] 3.7. Сильная сходимость унифицированного разложения Тейлора-Ито [144] 3.8. Сильная сходимость разложения Тейлора-Ито в форме Вагнера и Платена и разложения Тейлора-Стратоновича [146] 3.9. Примеры разложений в ряды Тейлора-Ито [150] 3.9.1. Разложения Тейлора-Ито для решений некоторых скалярных стохастических дифференциальных уравнений Ито [150] 3.9.2. Разложения Тейлора-Ито для решений некоторых многомерных стохастических дифференциальных уравнений Ито [153] 4. Методы сильной аппроксимации повторных стохастических интегралов [159] 4.1. Введение [159] 4.2. Метод аппроксимации повторных стохастических интегралов Стратоновича, основанный на кратных рядах Фурье [164] 4.2.1. Соотношения между повторными стохастическими интегралами Ито и Стратоновича [165] 4.2.2. Разложение повторных интегралов Стратоновича в кратные ряды из произведений стандартных гауссовских величин [169] 4.2.3. Среднеквадратическая аппроксимация повторных стохастических интегралов Стратоновича [181] 4.2.4. Аппроксимация повторных стохастических интегралов Стратоновича с помощью тригонометрической системы функций [188] 4.2.5. Аппроксимация повторных стохастических интегралов с помощью полиномиальной системы функций [196] 4.3. Метод Г.Н.Мильштейна разложения повторных стохастических интегралов Стратоновича [200] 4.3.1. Введение [200] 4.3.2. Примеры разложений повторных стохастических интегралов Стратоновича методом Г.Н.Мильштейна [202] 4.4. Сравнение метода, основанного на кратных рядах Фурье, и метода Г.Н.Мильштейна [203] 4.5. Разложение повторных стохастических интегралов с использованием полиномов Эрмита [206] 4.6. Метод аппроксимации повторных стохастических интегралов Ито, основанный на кратных интегральных суммах [209] 4.7. Аналитические формулы для вычисления стохастических интегралов [213] 4.7.1. Введение [213] 4.7.2. Аддитивное разделение переменных [215] 4.7.3. Мультипликативное разделение переменных [219] 4.8. Разложение повторных симметризованных стохастических интегралов по пуассоновским процессам, основанное на кратных рядах Фурье [221] 4.8.1. Введение [221] 4.8.2. Симметризованный стохастический интеграл по пуассоновским процессам [222] 4.8.3. Разложение повторных симметризованных стохастических интегралов по пуассоновским процессам [227] 5. Сильные методы численного решения стохастических дифференциальных уравнений Ито [233] 5.1. История вопроса [233] 5.2. Разложения Тейлора-Ито и общие представления явных сильных численных методов порядка r/2 [236] 5.3. Методы, основанные на унифицированном разложении Тейлора-Ито [244] 5.3.1. Метод Мильштейна [244] 5.3.2. Явный сильный одношаговый метод порядка 1.5 [246] 5.3.3. Явный сильный одношаговый численный метод порядка 2.0 [252] 5.3.4. Явный сильный одношаговый метод порядка 2.5 [255] 5.4. Численные методы, основанные на разложении Тейлора-Ито в форме Вагнера и Платена [259] 5.4.1. Явный сильный одношаговый метод порядка 1.5 [259] 5.4.2. Явный сильный одношаговый метод порядка 2.0 [261] 5.4.3. Явный сильный одношаговый метод порядка 2.5 [263] 5.4.4. Замечание об особенностях численных методов, основанных на унифицированном разложении Тейлора-Ито и разложении Тейлора-Ито в форме Вагнера и Платена [267] 5.5. Численные методы, основанные на разложении Тейлора-Стратоновича [268] 5.5.1. Явный сильный одношаговый метод порядка r/2 [268] 5.5.2. Явный сильный одношаговый метод порядка 1.0 [271] 5.5.3. Явный сильный одношаговый метод порядка 1.5 [272] 5.5.4. Явный сильный одношаговый метод порядка 2.0 [273] 5.5.5. Явный сильный одношаговый метод порядка 2.5 [275] 5.6. Конечно-разностные численные методы, основанные на разложениях Тейлора-Ито [277] 5.6.1. Некоторые тейлоровские аппроксимации производных детерминированных функций [278] 5.6.2. Явный сильный одношаговый конечно-разностный метод порядка 1.0 [280] 5.6.3. Явные сильные одношаговые конечно-разностные методы порядка 1.5 [280] 5.6.4. Явные сильные одношаговые конечно-разностные методы порядка 2.0 [283] 5.6.5. Явные сильные одношаговые конечно-разностные методы порядка 2.5 [286] 5.6.6. О сходимости явных сильных одношаговых конечно-разностных методов [293] 5.7. Неявные одношаговые сильные методы численного решения стохастических дифференциальных уравнений Ито [295] 5.7.1. Неявные одношаговые сильные методы порядка 1.0 [296] 5.7.2. Неявные одношаговые сильные методы порядка 1.5 [298] 5.7.3. Неявные одношаговые сильные методы порядка 2.0 [299] 5.7.4. Неявные одношаговые сильные методы порядка 2.5 [300] 5.8. Неявные сильные одношаговые конечно-разностные методы численного решения стохастических дифференциальных уравнений Ито [302] 5.8.1. Неявные сильные одношаговые конечно-разностные методы порядка 1.0 [302] 5.8.2. Неявные сильные одношаговые конечно-разностные методы порядка 1.5 [303] 5.8.3. Неявные сильные одношаговые конечно-разностные методы порядка 2.0 [304] 5.8.4. Неявные сильные одношаговые конечно-разностные методы порядка 2.5 [306] 5.9. Явные двухшаговые сильные методы численного решения стохастических дифференциальных уравнений Ито [309] 5.9.1. Явный двухшаговый сильный метод порядка 1.0 [309] 5.9.2. Явные двухшаговые сильные методы порядка 1.5 [310] 5.9.3. Явные двухшаговые сильные методы порядка 2.0 [311] 5.9.4. Явные двухшаговые сильные методы порядка 2.5 [312] 5.10. Неявные двухшаговые сильные методы численного решения стохастических дифференциальных уравнений Ито [314] 5.10.1. Неявные двухшаговые сильные методы порядков 1.0 и 1.5 [314] 5.10.2. Неявные двухшаговые сильные методы порядков 2.0 и 2.5 [316] 5.11. Двухшаговые сильные конечно-разностные методы численного решения стохастических дифференциальных уравнений Ито [317] 5.11.1. Двухшаговые сильные конечно-разностные методы порядков 1.0 и 1.5 [317] 5.11.2. Двухшаговые сильные конечно-разностные методы порядков 2.0 и 2.5 [319] 5.12. Общие представления двухшаговых численных методов для стохастических дифференциальных уравнений Ито [323] 5.13. Об устойчивости численных методов [327] 6. Численное моделирование решений стационарных систем линейных стохастических дифференциальных уравнений [337] 6.1. Системы линейных стохастических дифференциальных уравнений: расчетные формулы и вспомогательные результаты [338] 6.1.1. Интегральные представления решений СЛСДУ [339] 6.1.2. Моментные характеристики решений СЛСДУ [343] 6.1.3. Свойства дискретной системы линейных стохастических уравнений в стационарном случае [346] 6.2. Метод численного моделирования решений стационарных СЛСДУ, основанный на формуле Коши и спектральном разложении [348] 6.2.1. Введение [348] 6.2.2. Общий подход к моделированию и структурирование проблемы [350] 6.2.3. Алгоритм численного моделирования динамической составляющей решения стационарной СЛСДУ [351] 6.2.4. Алгоритм численного моделирования систематической составляющей решения стационарной СЛСДУ [353] 6.2.5. Алгоритм численного моделирования случайной составляющей решения стационарной СЛСДУ [359] 6.2.6. Алгоритм численного моделирования решения стационарной СЛСДУ и оценка скорости его сходимости [363] 6.3. Метод численного моделирования решений стационарных СЛСДУ, основанный на кусочно-постоянной аппроксимации белого шума [365] 6.3.1. Введение [365] 6.3.2. Алгоритм численного моделирования решений стационарных СЛСДУ [367] 6.3.3. Оценка скорости сходимости по шагу дискретизации (?) метода численного моделирования решений СЛСДУ, основанного на кусочно-постоянной аппроксимации белого шума [369] 6.4. Библиотека "ITO-LIN" MatLAB-функций численного моделирования решений стационарных СЛСДУ [372] 6.4.1. Математическая модель объекта моделирования [373] 6.4.2. Общая характеристика и сценарий управления библиотекой [374] 6.4.3. Функции ввода-вывода, просмотра и редактирования исходных данных [380] 6.4.4. Функции вычисления матриц детерминированной, динамической и случайной составляющих решения ССЛСДУ [387] 6.4.5. Функции выбора и вычисления внешнего детерминированного воздействия [392] 7. Примеры численного моделирования стохастических интегралов и решений стохастических дифференциальных уравнений [397] 7.1. Выбор числа q при численном моделировании повторных стохастических интегралов [397] 7.1.1. Выбор числа q в случае тригонометрического базиса [397] 7.1.2. Выбор числа q в случае полиномиального базиса [398] 7.1.3. Выбор числа q при аппроксимации повторных стохастических интегралов Ито с помощью интегральных сумм [402] 7.2. Численное интегрирование модели Блэка-Шоулза [403] 7.3. Исследование влияния стохастического возмущения на трехмерную дискретную модель конвективной турбулентности Лоренца [404] 7.4. Численное интегрирование стохастической модели Лотки-Вольтерра второго порядка [419] 7.5. Численное моделирование динамики доходности портфеля ценных бумаг [423] 7.6. Численное моделирование чандлеровских колебаний [429] 7.7. Численное моделирование солнечной активности [432] 7.8. Исследование влияния стохастического возмущения на систему уравнений Рёсслера [434] Заключение [444] Библиогафия [447] Обозначения [456] |
| Формат: | djvu |
| Размер: | 2911068 байт |
| Язык: | RUS |
| Рейтинг: |
227
|
| Открыть: | Ссылка (RU) |