Курс математического анализа. Т. 1
Автор(ы): | Кудрявцев Л. Д.
06.10.2007
|
Год изд.: | 1981 |
Описание: | Особое внимание в учебнике обращено на изложение качественных и аналитических методов, в нем нашли отражение и некоторые геометрические приложения анализа. В первом томе излагаются дифференциальное и интегральное исчисления функций одной переменой, простейшие сведения о функциях многих переменных и теория рядов. Предназначена студентам университетов физико-математических и инженерно-физических специальностей для углубленной математической подготовки. |
Оглавление: |
![]() Глава первая Дифференциальное исчисление функций одной переменной § 1. Множества и функции. Логические символы [5] 1.1. Множества. Операции над множествами [5] 1.2. Функции [8] 1.З. Конечные множества и натуральные числа. Последовательности [11] 1.4. Логические символы [13] § 2. Действительные числа. Числовые множества [15] 2.1. Свойства действительных чисел [15] 2.2. Свойства сложения и умножения [20] 2.3. Свойство упорядоченности [27] 2.4. Свойство непрерывности действительных чисел [30] 2.5. Расширенная числовая прямая [33] 2.6. Промежутки действительных чисел. Окрестности [33] 2.7. Ограниченные и неограниченные множества [35] 2.8. Верхняя и нижняя грани числовых множеств [37] 2.9. Свойства Архимеда [43] 2.10. Принцип вложенных отрезков [44] § 3. Предел последовательности [48] 3.1. Определение предела последовательности [48] 3.2. Бесконечные пределы [53] 3.3. Простейшие свойства предела последовательности [55] 3.4. Ограниченность сходящихся последовательностей [59] 3.5. Монотонные последовательности [60] 3.6. Теорема Больцано—Вейерштрасса [63] 3.7. Критерий Коши сходимости последовательности [65] З.8. Бесконечно малые последовательности [67] 3.9 Свойства пределов, связанные с арифметическими операциями над последовательностями [69] 3.10. Изображение действительных чисел бесконечными десятичными дробями [76] З.11. Счетность рациональных чисел. Несчетность действительных чисел [82] 3.12. Верхний и нижний пределы последовательностей [86] § 4. Функции и их пределы [89] 4.1. Действительные функции [89] 4.2. Способы задания функций [91] 4.3. Элементарные функции и их классификация [95] 4.4. Первое определение предела функции [96] 4.5. Второе определение предела функции [101] 4.6. Обобщение понятия предела функции [104] 4.7. Свойства пределов функций [106] 4.8. Замена переменной при вычислении пределов [108] 4.9. Бесконечно малые и бесконечно большие функции [110] 4.10. Пределы монотонных функций [111] 4.11. Критерий Коши существования предела функции [113] § 5. Непрерывность функции в точке [115] 5.1. Точки непрерывности и точки разрыва функций [115] 5.2. Свойства функций непрерывных в точке [119] § 6. Свойства непрерывных функций [121] 6.1. Ограниченность непрерывных функций. Достижение экстремальных значений [121] 6.2. Промежуточные значения непрерывных функций [123] 6.3. Обратные функции [125] § 7. Непрерывность элементарных функций [131] 7.1. Многочлены и дробно-рациональныг функции [131] 7.2. Показательная, логарифмическая и степенная функции [132] 7.3. Тригонометрические и обратные тригонометрические функции [139] § 8. Сравнение функций. Вычисление пределов [140] 8.1. Некоторые замечательные пределы [140] 8.2. Сравнение функций [144] 8.3. Эквивалентные функции [151] 8.4. Метод выделения главной части функции и его применение к вычислению пределов [153] § 9. Производная и дифференциал [157] 9.1. Определение производной [157] 9.2. Дифференциал функции [159] 9.3. Геометрический смысл производной и дифференциала [163] 9.4. Физический смысл производной и дифференциала [167] 9.5. Правила вычисления производных, связанные с арифметическими действиями над функциями [170] 9.6. Производная обратной функции [173] 9.7. Производная и дифференциал сложной функции [175] 9.8. Гиперболические функции и их производные [182] § 10. Производные и дифференциалы высших порядков [184] 10.1. Производные высших порядков [184] 10.2. Высшие производные суммы и произведения функций [186] 10.3. Производные высших порядков от сложных функций, от обратных функций и от функций, заданных параметрически [188] 10.4. Дифференциалы высших порядков [190] § 11. Теоремы о среднем для дифференцируемых функций [192] 11.1. Теорема Ферма [192] 11.2. Теоремы Ролля, Лагранжа и Коши о средних значениях [194] § 12. Раскрытие неопределенностей по правилу Лопиталя [201] 12.1. Неопределенности вида О/О [201] 12.2. Неопределенности вида (?) [204] § 13. Формула Тейлора [210] 13.1. Вывод формулы Тейлора [210] 13.2. Многочлен Тейлора как многочлен наилучшего приближения функции в окрестности данной точки [213] 13.3. Примеры разложения по формуле Тейлора [216] 13.4. Вычисление пределов с помощью формулы Тейлора (метод выделения главной части) [218] § 14. Исследование поведения функций [221] 14.1. Признак монотонности функции [221] 14.2. Отыскание наибольших и наименьших значений функций [222] 14.3. Выпуклость и точки перегиба [230] 14.4. Асимптоты [236] 14.5. Построение графиков функций [239] § 15. Вектор-функция [248] 15.1. Понятие предела и непрерывности для вектор-функции [248] 15.2. Производная и дифференциал вектор-функции [251] § 16. Длина дуги кривой [255] 16.1. Понятие кривой [255] 16.2. Параметрически заданные кривые [258] 16.3. Ориентация кривой. Дуга кривой. Сумма кривых. Неявное задание кривых [262] 16.4. Касательная к кривой. Геометрический смысл производной вектор-функции [264] 16.5. Длина дуги кривой [267] 16.6. Плоские кривые [273] 16.7. Физический смысл производной вектор-функции [274] § 17. Кривизна кривой [275] 17.1. Две леммы. Радиальная и трансверсальная составляющие скорости [275] 17.2. Определение кривизны кривой и ее вычисление [278] 17.3. Главная нормаль. Соприкасающаяся плоскость [281] 17.4. Центр кривизны и эволюта кривой [283] 17.5. Формулы для кривизны и эволюты плоской кривой [283] Глава вторая Дифференциальное исчисление функций многих переменных § 18. Множества на плоскости и в пространстве [288] 18.1. Окрестности точек. Пределы последовательностей точек [288] 18.2. Различные типы множеств [299] 18.3. Компакты [309] 18.4. Многомерные векторные пространства [315] § 19. Предел и непрерывность функций многих переменных [320] 19.1. Функции многих переменных [320] 19.2. Предел функции [322] 19.3. Непрерывность функций [327] 19.4. Непрерывность композиции непрерывных функций [330] 19.5. Теоремы о функциях, непрерывных на множествах [332] 19.6. Равномерная непрерывность функций. Модуль непрерывности [334] § 20. Частные производные. Дифференцируемость функций многих переменных [341] 20.1. Частные производные и частные дифференциалы [341] 20.2. Дифференцируемость функций, в точке [344] 20.3. Дифференцирование сложной функции [351] 20.4. Инвариантность формы первого дифференциала относительно выбора переменных. Правила вычисления дифференциалов [354] 20.5. Гесметрический смысл частных производных и полного дифференциала [360] 20.6. Градиент функции [362] 20.7. Производная по направлению [363] 20.8. Пример исследования функций двух переменных [367] § 21. Частные производные и дифференциалы высших порядков [369] 21.1. Частные производные высших порядков [369] 21.2. Дифференциалы высших порядков [373] Глава третья Интегральное исчисление функций одной переменной § 22. Определение и свойства неопределенного интеграла [378] 22.1. Первообразная и неопределенный интеграл [378] 22.2. Табличные интегралы [382] 22.3. Интегрирование подстановкой (замена переменной) [384] 22.4. Интегрирование по частям [387] § 23. Некоторые сведения о комплексных числах и многочленах [389] 23.1. Комплексные числа [389] 23.2. Формальная теория комплексных чисел [395] 23.3. Некоторые понятия анализа в области комплексных чисел [396] 23.4. Разложение многочленов на множители [399] 23.5. Наибольший общий делитель многочленов [402] 23.6. Разложение правильных рациональных дробей на элементарные [406] § 24. Интегрирование рациональных дробей [412] 24.1. Интегрирование элементарных рациональных дробей [412] 24.2. Общий случай [414] 24.3. Метод Остроградского [416] § 25. Интегрирование некоторых иррациональностей [421] 25.1. Предварительные замечания [421] 25.2. Интегралы вида (формула) [422] 25.3. Интегралы вида (формула). Подстановки Эйлера [424] 25.4. Интегралы от дифференциального бинома [426] 25.5. Интегралы вида (?) [429] § 26. Интегрирование некоторых трансцендентных функций [431] 26.1. Интегралы вида (?) [431] 26.2. Интегралы вида (?) [433] 26.3. Интегралы вида (?) [434] 26.4. Интегралы от трансцендентных функций, вычисляющиеся с помощью интегрирования по частям [434] 26.5. Интегралы вида (?) [436] 26.6. Замечания об интегралах, не выражающихся через элементарные функции [436] § 27. Определенный интеграл [438] 27.1. Определение интеграла по Риману [438] 27.2. Ограниченность интегрируемой функции [442] 27.3. Верхние и нижние суммы Дарбу. Верхний и нижний интегралы Дарбу [443] 27.4. Необходимые и достаточные условия интегрируемости [446] 27.5. Интегрируемость непрерывных и монотонных функций [448] § 28. Свойства интегрируемых функций [450] 28.1. Свойства определенного интеграла [450] 28.2. Первая теорема о среднем значении для определенного интеграла [459] 28.3. Интегрируемость кусочно-непрерывных функций [463] 28.4. Интегральные неравенства Гёльдера и Минковского [465] § 29. Определенный интеграл с переменным верхним пределом [467] 29.1. Непрерывность интеграла по верхнему пределу [467] 29.2. Дифференцируемость интеграла по верхнему пределу. Существование первообразной у непрерывной функции [468] 29.3. Формула Ньютона—Лейбница [471] § 30. Формулы замены переменной в интеграле и интегрирования по частям [474] 30.1. Замена переменной [474] 30.2. Интегрирование по частям [476] 30.3. Вторая теорема о среднем значении для определенного интеграла [479] 30.4. Интегралы от вектор-функций [481] § 31. Мера плоских открытых множеств [483] 31.1. Определение меры (площади) открытых множеств [483] 31.2. Свойства меры открытых множеств [486] § 32. Некоторые геометрические и физические приложения определенного интеграла [491] 32.1. Вычисление площадей [491] 32.2. Объем тел вращения [497] 32.3. Вычисление длины кривой [499] 32.4. Площадь поверхности вращения [504] 32.5. Работа силы [507] 32.6. Вычисление статических моментов и центра тяжести кривой [508] § 33. Несобственные интегралы [511] 33.1. Определение несобственных интегралов [511] 33.2. Формулы интегрального исчисления для несобственных интегралов [517] 33.3. Несобственные интегралы от неотрицательных функций [522] 33.4. Критерий Коши сходимости несобственных интегралов [529] 33.5. Абсолютно сходящиеся интегралы [530] 33.6. Исследование сходимости интегралов [534] § 34. Асимптотическое поведение интегралов с переменными пределами интегрирования [539] Глава четвертая Ряды § 35. Числовые ряды [545] 35.1. Определение ряда и его сходимость [545] 35.2. Свойства сходящихся рядов [548] 35.3. Критерий Коши сходимости ряда [550] 35.4. Ряды с неотрицательными членами [553] 35.5. Признак сравнения для рядов с неотрицательными членами. Метод выделения главной части члена ряда [555] 35.6. Признаки Даламбера и Коши для рядов с неотрицательными членами [558] 35.7. Интегральный признак сходимости рядов с неотрицательными членами [561] 35.8. Неравенства Гёльдера и Минковского для конечных и бесконечных сумм [565] 35.9. Знакопеременные ряды [567] 35.10. Абсолютно сходящиеся ряды. Применение абсолютно сходящихся рядов к исследованию сходимости произвольных рядов [569] 35.11. Признаки Даламбера и Коши для произвольных числовых рядов [577] 35.12. Сходящиеся ряды, не сходящиеся абсолютно. Теорема Римана [578] 35.13. Преобразование Абеля. Признаки сходимости рядов Дирихле и Абеля [582] 35.14. Асимптотическое поведение остатков сходящихся рядов и роста частичных сумм некоторых расходящихся рядов [586] 35.15. О суммируемости рядов методом средних арифметических [589] § 36. Функциональные последовательности и ряды [591] 36.1. Сходимость функциональных последовательностей и рядов [591] 36.2. Равномерная сходимость функциональных последовательностей [595] 36.3. Равномерно сходящиеся функциональные ряды [602] 36.4. Свойства равномерно сходящихся рядов и последовательностей [612] § 37. Степенные ряды [621] 37.1. Радиус сходимости и круг сходимости степенного ряда [621] 37.2. Формула Коши—Адамара для радиуса сходимости степенного ряда [628] 37.3. Аналитические функции [630] 37.4. Действительные аналитические функции [632] 37.5. Разложение функций в степенные ряды. Различные способы записи остаточного числа формулы Тейлора [636] 37.6. Разложение элементарных функций в ряд Тейлора [641] 37.7. Разложение в степенные ряды и суммирование их методом почленного дифференцирования и интегрирования [648] 37.8. Формула Стерлинга [651] 37.9. Формула и ряд Тейлора для многомерных вектор-функций [653] 37.10. Асимптотические степенные ряды [655] 37.11. Свойства асимптотических степенных рядов [661] § 38. Кратные ряды [665] 38.1. Кратные числовые ряды [665] 38.2. Кратные функциональные ряды [672] Именной указатель [675] Предметный указатель [676] |
Формат: | djvu |
Размер: | 7847342 байт |
Язык: | RUS |
Рейтинг: |
134
|
Открыть: | Ссылка (RU) |