Аналитическая геометрия
Автор(ы): | Моденов П. С.
24.11.2023
|
Год изд.: | 1969 |
Описание: | Настоящая книга предназначена в качестве учебника по аналитической геометрии для студентов механико-математических, физических и физико-математических факультетов университетов и педагогических институтов. Наличие в книге задач с решениями и задач для самостоятельного решения (с ответами) позволяет использовать заочниками эту часть книги как материал семинарских занятий. Помимо традиционного материала по аналитической геометрии в книге дано понятие о линейном пространстве и линейном многообразии, Линейное отображение определяется как коллинеация, при которой сохраняется простое отношение. Изложено понятие собственных векторов. Дана метрическая теория инвариантов в аффинной системе. Рассмотрены произвольные плоские сечения поверхности второго порядка. Проективные координаты и теоремы Дезарга, Паскаля и Брианшона даны в дополнении; в основном тексте - только однородные координаты. |
Оглавление: |
Обложка книги.
Предисловие [3]Глава I. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПРЯМОЙ. §1. Направленные отрезки [5] §2. Ось. Координата направленного отрезка [5] §3. Ось координат. Координата точки [6] §4. Теорема Шаля. Координата направленного отрезка, заданного двумя точками декартовой оси координат. Расстояние между двумя точками, лежащими на оси координат [7] §5. Деление направленного отрезка в данном отношении [8] §6. Преобразование системы координат на прямой [10] §7. Векторы [10] Глава II. ПРОСТЕЙШИЕ ВОПРОСЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ. I. Координаты точки и вектора на плоскости и в пространстве [15] §8. Параллельное проектирование [15] §9. Общая декартова и декартова прямоугольная системы координат на плоскости [17] §10. Общая декартова и декартова прямоугольная системы координат в пространстве [18] §11. Координаты вектора на плоскости и в пространстве [21] II. Расстояние между двумя точками, деление направленного отрезка в данном отношении, площадь треугольника, объем тетраэдра [25] §12. Расстояние между двумя точками на плоскости и в пространстве [25] §13. Деление направленного отрезка в данном отношения [28] §14. Ориентированный треугольник. Ориентированная плоскость. Площадь треугольника [30] §15. Ориентированный тетраэдр. Ориентированное пространство. Объем тетраэдра [38] §16. Углы [43] 1. Определение угла [43] 2. Ориентированный угол. Его величина. Равенство, сумма и разность величин ориентированных углов [43] 3. Угол между двумя осями. Угол от одной оси до другой и его величина [45] 4. Углы между двумя прямыми Угол от одной прямой до другой и ею величина [46] §17. Теорема Шаля для ориентированных углов [48] III. Полярная система координат на плоскости и в пространстве [50] §18. Полярная система координат на плоскости [50] §19. Полярная система координат в пространстве. Полярные и сферические координаты [52] §20. Задачи к главе II [54] 1. Задачи с решениями [54] 2. Задачи для самостоятельного решения [58] Глава III. ЛИНИИ, ПОВЕРХНОСТИ И ИХ УРАВНЕНИЯ. I. Линия и ее уравнения [61] §21. О понятии линии и ее уравнениях [61] §22. Примеры составления уравнений линии [62] II. Поверхности и линии в пространстве [69] §23. Поверхность и ее уравнение [69] §24. Примеры составления уравнений поверхностей [70] §25. Цилиндрические и конические поверхности [74] 1. Цилиндрические поверхности [74] 2. Конические поверхности [75] §26. Поверхности вращения [77] §27. Линия в пространстве и ее уравнения [80] §28. Примеры уравнений линий в пространстве [81] §29. Задачи к главе III для самостоятельного решения [83] Глава IV. ОСНОВЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ. §30. Сумма векторов [90] §31. Разность векторов [92] §32. Произведение числа на вектор [93] §33. Теоремы о проекциях векторов [95] §34. Теоремы о координатах векторов [96] §35. Сумма, разность и произведение числа на вектор в координатах [97] §36. Линейная зависимость векторов. Линейная комбинация векторов. Коллинеарность векторов. Компланарность векторов [99] §37. Базис и координаты вектора [104] §38. Скалярное произведение двух векторов [107] §39. Выражение скалярного произведения в координатах [109] §40. Угол от одного вектора до другого на ориентированной плоскости [112] §41. Объем ориентированного параллелепипеда [114] §42. Объем ориентированного параллелепипеда в координатах. Объем тетраэдра ,119 §43. Векторное произведение [121] §44. Смешанное произведение трех векторов [123] §45. Координаты векторного произведения [123] §46. Свойства векторного произведения [124] §47. Двойное векторное произведение [125] §48. Площадь параллелограмма и треугольника в пространстве [125] §49. Примеры и задачи к главе IV [126] 1. Задачи с решениями [126] 2. Задачи для самостоятельного решения [136] Глава V. ПРЯМАЯ ЛИНИЯ НА ПЛОСКОСТИ. §50. Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении [138] §51. Общее уравнение прямой [139] §52. Направляющий вектор прямой [139] §53. Частные случаи расположения прямой относительно системы координат [141] §54. Параметрические уравнения прямой [141] §55. Уравнение прямой, проходящей через две точки [142] §56. Уравнение прямой в отрезках [143] §57. Угловой коэффициент прямой [143] §58. Уравнение прямой с угловым коэффициентом [144] §59. Взаимное расположение двух прямых [144] §60. Пучок прямых [146] §61. Взаимное расположение трех прямых [149] §62. Геометрический смысл неравенства первой степени с двумя неизвестными [150] §63. Расстояние от точки до прямой [152] §64. Нормальное уравнение прямой [153] §65. Угол между двумя прямыми, условие перпендикулярности двух прямых [155] §66. Угол от одной прямой до другой в ориентированной плоскости [156] §67. Примеры и задачи к главе V [158] 1. Задачи с решениями [158] 2. Задачи для самостоятельного решения [168] Глава VI. ПЛОСКОСТЬ И ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ. §68. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку компланарно двум неколлинеарным векторам [170] §69. Общее уравнение плоскости [170] §70. Условие компланарности вектора и плоскости [173] §71. Частные случаи расположения плоскости относительно системы координат [173] §72. Параметрические уравнения плоскости [174] §73. Уравнение плоскости, проходящей через две точки компланарно данному вектору [175] §74. Уравнение плоскости, проходящей через три точки, не принадлежащие одной прямой [175] §75. Уравнение плоскости в отрезках [176] §76. Взаимное расположение двух плоскостей [176] §77. Уравнения прямой, проходящей через данную точку в данном направлении Параметрические уравнения прямой [179] §78. Уравнения прямой, проходящей через две точки [180] §79. Взаимное расположение двух прямых [180] §80. Взаимное расположение прямой и плоскости [181] §81. Прямая как линия пересечения двух плоскостей [182] §82. Пучок плоскостей [183] §83. Взаимное расположение трех плоскостей [186] §84. Связка плоскостей [187] §85. Геометрический смысл неравенства первой степени с тремя неизвестными [192] §86. Расстояние от точки до плоскости [193] §87. Нормальное уравнение плоскости [193] §88. Угол между двумя плоскостями. Условие перпендикулярности двух плоскостей [196] §89. Угол между двумя прямыми Условие перпендикулярности двух прямых [197] §90. Угол между прямой и плоскостью. Условие перпендикулярности прямой и плоскости [198] §91. Уравнения перпендикуляра, опущенного из данной точки на данную прямую [199] §92. Уравнения общего перпендикуляра к двум неколлинеарным прямым [199] §93. Расстояние от точки до прямой в пространстве [201] §94. Кратчайшее расстояние между двумя прямыми [201] §95. Примеры и задачи к главе VI [203] 1. Задачи с решениями [203] 2. Задачи для самостоятельного решения [210] Глава VII. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ДЕКАРТОВОЙ СИСТЕМЫ КООРДИНАТ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ. §96. Перенос декартовой системы координат [214] §97. Преобразование общей декартовой системы координат на плоскости [216] §98. Преобразование общей декартовой системы координат в пространстве [218] §99. Преобразование декартовой прямоугольной системы координат на плоскости [219] 1. Переход от одной декартовой прямоугольной системы координат на плоскости к другой декартовой прямоугольной системе с той же ориентацией и с тем же началом координат [219] 2. Переход от одной декартовой прямоугольной системы координат на плоскости к другой прямоугольной системе с противоположной ориентацией и с тем же началом координат [221] 3. Общее преобразование одной декартовой прямоугольной системы координат на плоскости в другую прямоугольную систему [222] §100. Переход от одной декартовой прямоугольной системы координат к другой прямоугольной системе в пространстве [223] §101. Углы Эйлера [227] Глава VIII. ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА, ЗАДАННЫЕ КАНОНИЧЕСКИМИ УРАВНЕНИЯМИ. §102. Эллипс и его каноническое уравнение [230] §103. Исследование формы эллипса [233] §104. Директрисы эллипса [235] §105. Эллипс как образ окружности при равномерном сжатии к ее диаметру [238] §106. Параметрические уравнения эллипса [240] §107. Построение эллипса по точкам [241] §108. Вычерчивание эллипса непрерывным движением [242] §109. Эллипс как ортогональная проекция окружности [243] §110. Касательная к эллипсу [245] §111. Оптическое свойство эллипса [246] §112. Гипербола и ее каноническое уравнение [247] §113. Исследование формы гиперболы [250] §114. Эксцентриситет и директрисы гиперболы [253] §115. Параметрические уравнения гиперболы [256] §116. Сопряженные гиперболы [257] §117. Уравнение гиперболы, отнесенной к асимптотам [258] §118. Касательная к гиперболе [259] §119. Оптическое свойство гиперболы [259] §120. Парабола и ее каноническое уравнение [261] §121. Исследование формы параболы [262] §122. Построение параболы по точкам [264] §123. Касательная к параболе [265] §124. Оптическое свойство параболы [266] §125. Полярное уравнение эллипса, гиперболы и параболы [267] §126. Эллипс, гипербола и парабола как конические сечения [268] §127. Примеры и задачи к главе VIII [272] 1. Задачи с решениями [272] 2. Задачи для самостоятельного решения [277] Глава IX. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА, ЗАДАННЫЕ КАНОНИЧЕСКИМИ УРАВНЕНИЯМИ. §128. Эллипсоид [284] §129. Однополостный гиперболоид [288] §130. Двуполостный гиперболоид [291] §131. Конус второго порядка [293] §132. Асимптотический конус гиперболоидов [294] §133. Эллиптический параболоид [296] §134. Гиперболический параболоид [298] §135. Цилиндры второго порядка ,301 §136. Прямолинейные образующие однополостного гиперболоида и гиперболического параболоида [302] 1. Прямолинейные образующие однополостного гиперболоида [302] 2. Прямолинейные образующие гиперболического параболоида [309] §137. Примеры и задачи к главе IX [313] 1. Задачи с решениями [313] 2. Задачи для самостоятельного решения [316] Глава X. КОМПЛЕКСНАЯ ПЛОСКОСТЬ И КОМПЛЕКСНОЕ ПРОСТРАНСТВО. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЛИНИИ И АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ. §138. Комплексная плоскость и комплексное пространство [320] 1. Комплексная плоскость [320] 2. Комплексное пространство [325] §139. Плоские алгебраические линии [329] 1. Определение плоской алгебраической линии и ее порядка [329] 2. Пересечение алгебраических линий. Пересечение алгебраической линии с прямой [331] 3. Распадение алгебраических линий [333] §140. Алгебраические поверхности [334] 1. Определение алгебраической поверхности [334] 2. Пересечение алгебраической поверхности с прямой и плоскостью [335] 3. Распадение алгебраических поверхностей [337] Глава XI. ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА, ЗАДАННЫЕ ОБЩИМ УРАВНЕНИЕМ. §141. Теорема о том, что всякое уравнение второй степени с двумя неизвестными определяет эллипс, гиперболу, параболу или две прямые [339] §142. Теория инвариантов [345] §143. Определение канонического уравнения линии второго порядка при помощи инвариантов. Распадение линии второго порядка на две прямые [352] §144. Центр линии второго порядка [357] §145. Пересечение линии второго порядка с прямой. Асимптотические направления. Классификация линий по числу и действительности асимптотических направлений [360] §146. Диаметр, сопряженный данному неасимптотическому направлению [364] 1. Общая теория [364] 2. Диаметры линий второго порядка, заданных каноническими уравнениями [369] §147. Касательная к линии второго порядка [370] §148. Уравнение линии второго порядка, отнесенной к двум ее сопряженным диаметрам; уравнение линии второго порядка, отнесенной к касательной и сопряженному к ней диаметру [373] §149. Главные направления и главные диаметры [381] §150. Определение расположения линии второго порядка по отношению к прямоугольной системе координат [384] §151. Примеры и задачи к главе XI [388] 1. Задачи с решениями [388] 2. Задачи для самостоятельного решения [397] Глава XII. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА, ЗАДАННЫЕ ОБЩИМ УРАВНЕНИЕМ. §152. Теорема о том, что всякое уравнение второй степени с тремя неизвестными определяет эллипсоид; гиперболоид, параболоид, конус, цилиндр или две плоскости [402] §153. Теория инвариантов [413] §154. Определение канонического уравнения поверхности второго порядка при помощи инварианта [419] §155. Центр поверхности второго порядка [428] §156. Классификация поверхностей второго порядка по характеру места центров [430] §157. Конические и цилиндрические поверхности второго порядка, заданные общим уравнением [433] 1. Конические поверхности [433] 2. Цилиндрические поверхности [435] 3. Распадение поверхности второго порядка [437] §158. Пересечение поверхности второго порядка с прямой. Асимптотические направления, асимптотический конус и конус асимптотических направлений [438] §159. Диаметральная плоскость, сопряженная данному неасимптотическому направлению. Особые направления относительно поверхности второго порядка [441] §160. Касательная плоскость [445] §161. Пересечение касательной плоскости с поверхностью второго порядка [447] §162. Эллиптические, гиперболические или параболические точки поверхности второго порядка [448] §163. Простейшие уравнения поверхностей второго порядка в общей декартовой системе координат [450] §164. Главные направления поверхности второго порядка [458] §165. Число главных направлений поверхности второго порядка [459] §166. Определение расположения поверхности второго порядка по отношению к декартовой прямоугольной системе координат [461] §167. Примеры и задачи к главе XII [467] 1. Задачи с решениями [467] 2. Задачи для самостоятельного решения [476] Глава XIII. ОТОБРАЖЕНИЯ И ПРЕОБРАЗОВАНИЯ. §168. Отображение и преобразование [483] §169. Произведение преобразований [484] §170. Группа преобразований [485] Глава XIV. ЛИНЕЙНЫЕ И АФФИННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ. §171. Линейные преобразования и линейные отображения множества точек пространства, плоскости или прямой [485] §172 Линейные преобразования множества векторов пространства, плоскости или прямой [487] §173. Свойства линейных преобразований множества точек пространства, плоскости или прямой [488] §174. Линейные преобразования в координатах [494] §175. Аффинные преобразования и аффинные отображения [499] §176. Геометрическая теория аффинных преобразований [501] §177. Свойства аффинных преобразований и отображений [506] §178. Аффинные преобразования в координатах [509] §179. Примеры аффинных преобразований [512] §180. Ортогональные преобразования и движения [520] §181. Ортогональные преобразования в координатах [522] 1. Ортогональные преобразования плоскости [522] 2. Ортогональные преобразования пространства [523] §182. Примеры ортогональных преобразований [525] §183. Подобные преобразования [526] §184. Собственные векторы линейного преобразования [528] §185. Самосопряженное линейное преобразование и его собственные векторы [531] §186. Представление аффинного преобразования в виде произведения ортогонального преобразования и трех сжатий к попарно перпендикулярным плоскостям [536] §187. Применение аффинных преобразований к исследованию свойств линий второго порядка [538] §188. Аффинная классификация линий второго порядка [540] §189. Аффинная классификация поверхностей второго порядка [543] §190. Примеры и задачи к главе XIV [544] 1. Задачи с решениями [544] 2. Задачи для самостоятельного решения [547] Глава XV. ЭЛЕМЕНТЫ ПРОЕКТИВНОЙ ГЕОМЕТРИИ. §191. Проективная плоскость [557] 1. Первая модель проективной плоскости [557] 2. Вторая модель проективной плоскости [559] §192. Однородные координаты точки и прямой на проективной плоскости [560] 1. Первая модель проективной плоскости [560] 2. Вторая модель проективной плоскости [562] 3. Связь проективных координат точки во второй модели с однородными координатами точки в первой модели [563] §193. Уравнение прямой на проективной плоскости, проходящей через две точки; пучок прямых [564] §194. Группа проективных преобразований проективной плоскости. Группа аффинных преобразований как подгруппа группы проективных преобразований [565] §195. Проективное преобразование плоскости в координатах Основная теорема [566] §196. Примеры проективных преобразований проективной плоскости [572] §197. Понятие о проективном пространстве [581] §198. Принцип двойственности [583] §199. Однородные координаты точки и проективной плоскости в проективном пространстве [584] §200. Уравнение прямой, проходящей через две точки. Пучок и связка плоскостей [585] §201. Группа проективных преобразований проективного пространства. Основная теорема [587] §202. Ангармоническое отношение. Гармонизм [588] §203. Линии второго порядка на проективной плоскости. Классификация линий второго порядка по характеру пересечения с несобственной прямой [598] §204. Проективная классификация линий второго порядка. Распадающиеся и нераспадающиеся линии [600] §205. Проективно-аффинная классификация линий второго порядка [603] §206. Необходимое и достаточное условие того, что два однородных уравнения второй степени определяют одну и ту же линию второго порядка [604] §207. Касательная к линии второго порядка [606] §208. Полюс и поляра линии второго порядка [609] §209. Сопряженные диаметры, центр и асимптоты в проективной теории линий второго порядка [612] §210. Определение линии второго порядка по пяти точкам [613] §211. Пучок линий второго порядка [614] §212. Поверхность второго порядка в проективном пространстве. Классификация поверхностей второго порядка по характеру пересечения с несобственной плоскостью [616] §213. Проективная классификация поверхностей второго порядка [618] §214. Проективно-аффинная классификация поверхностей второго порядка в проективном пространстве [621] §215. Необходимое и достаточное условие того, что два однородных уравнения второй степени определяют одну и ту же поверхность второго порядка [626] §216. Касательная плоскость к поверхности второго порядка [628] §217. Пересечение поверхности второго порядка касательной плоскостью [629] §218. Полюс и полярная плоскость поверхности второго порядка [631] §219. Примеры и задачи к главе XV [632] 1. Задачи с решениями [632] 2. Задачи для самостоятельного решения [636] Дополнение I. ОРИЕНТАЦИЯ. 1. Ориентация плоскости [638] 2. Ориентация пространства [642] Дополнение II. МЕТРИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ИНВАРИАНТОВ МНОГОЧЛЕНА ВТОРОЙ СТЕПЕНИ ОТ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ ОТНОСИТЕЛЬНО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ОБЩЕЙ ДЕКАРТОВОЙ СИСТЕМЫ КООРДИНАТ. 1. Контравариантные и ковариантные координаты точки и вектора на плоскости [646] 2. Контравариантные и ковариантные координаты вектора и точки в пространстве [648] 3. Теория инвариантов уравнения линии второго порядка [649] 4. Определение расположения линии второго порядка [654] 5. Поверхности второго порядка [656] Дополнение III. ПЛОСКИЕ СЕЧЕНИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА. КРУГОВЫЕ СЕЧЕНИЯ. ОМБИЛИЧЕСКИЕ ТОЧКИ. 1. Приведение к каноническому виду плоского сечения поверхности второго порядка [660] 2. Расположение в пространстве плоского сечения поверхности второго порядка [664] 3. Круговые сечения поверхностей второго порядка [667] 4. Омбилические точки [671] Дополнение IV. ПРОЕКТИВНЫЕ КООРДИНАТЫ. ТЕОРЕМЫ ДЕЗАРГА, ПАСКАЛЯ И БРИАНШОНА. АВТОПОЛЯРНЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК. АВТОПОЛЯРНЫЙ ТЕТРАЭДР. 1. Проективные координаты на проективной плоскости [673] 2. Автополярный треугольник [678] 3. Теоремы Дезарга, Паскаля и Брианшона [680] 4. Проективные координаты в проективном пространстве [684] Б. Автополярный тетраэдр [688] |
Формат: | djvu + ocr |
Размер: | 88684152 байт |
Язык: | РУС |
Рейтинг: | 334 |
Открыть: | Ссылка (RU) |